举头望明月，低头思故乡。
这是一个定理的特例。若G是交换群，a和b都是G中元，o(a)=m,o(b)=n,m和n是正整数，且(m,n)=1,则o(ab)=mn证明：设o(ab)=k,因为(ab)^(mn)=(a^m)^n(b^n)^m=e,故k整除mn(ab)^k=a^kb^k=e,a^k=b^-k,所以o(a^k)=o(b^-k)=o(b^k)即m/(m,k)=n/(n,k)m(n,k)=n(m,k)所以m整除n(m,k),但(m,n)=1,所以m整除(m,k)，推出m整除k，同理n整除k,所以mn整除k因此k=mn.证毕最后注意o(ab)=o(a-1aba)=o(ba)
题目有问题，C是子环不一定是理想
五1、显然Z(G)是C（x)的子群。若Z（G)=C(x)则x∈Z（G），故x与G中每个元可换，即G是交换群，矛盾。故Z(G) 抽象代数中讨论的“关系”一般都是二元关系(binary relation).若X,Y为集合，G(R)⊆X×Y={(x,y)|x∈X,y∈Y}，则可以由此定义一个集合X与Y上的二元关系R=(X, Y, G(R))：(x,y)∈G(R) iff xRy(称“x R-关系于 y”).其中G(R)称为R的图，是笛卡尔积X×Y的一个子集，也就是说只要(x,y)在G(R)中就称x R-关系于 y. 但后来为了简化与抓住本质，很多时候直接定义关系就是X×Y的一个子集R⊆X×Y，也就是把关系与关系的图等价起来了.一个二元关系R=(X, Y, G(R))还可以看做一个二元函数R：X×Y→{0,1},R(x,y)=1 iff xRy. 可以证明这个定义与关系的图定义是等价的.当Y=X的时候，R称为“X上的二元关系”，或者简称“X上的关系”.一个集合上的二元关系例子很多，比如等价关系，偏序关系，全序关系，空关系，全域关系，恒等关系......-------------------------------------------------------------------抽象代数中讨论的“关系”一般都是二元关系(binary relation),我见过的关系讨论都是二元关系. 感觉就像逻辑学研究得最透彻的还是经典二值逻辑一样，当然后来也出现了多值逻辑的探索和研究，但二值逻辑确实是最基础的. 可以去试着模仿二元关系来定义多元关系，不过有没有用就要进一步探索了... ----------------------------------------------------------------ps：看到你之前“指标集”的问题，其实定义指标集合的目的就是为了更好更方便的描述一个序列的势(基数)以便于讨论这个序列一些性质. 比如如果一个数列为A={a1,a2,...,an},如果我们定义指标集Γ={1,2,...,n},那么A可以写为A={ai}i∈Γ；如果一个数列为B={a1,a2,...,an,...},那么B可以写为B={ai}i∈N；如果一个数列C所包含的元素不是可数的(阿列夫0)，而是阿列夫1，那么C可以表述为C={ai}i∈R. 指标集的好处在很多地方都有表现，比如选择公理以及选择公理的证明就得益于指标集的引入；还有特征标理论中也有应用，等等。 1)先证G中任意子群H都正规，设H=G^t,任给x属于G，xHx-1=xG^tx-1=G^t=H2)再证素数阶元是中心元，设g是素数p阶元，则xgx-1=g^i(2<=i<=p-1),g-1xg=x^j所以g^ix=xg=gx^j,g^(i-1)=x^(j-1)，但(i-1,p)=1，所以g^(i-1)是g的生成元，故g是x的幂，所以gx=xg任给y∈G，设素数p│o(y),但p不│n,则 法一：设f(x)=x^2+2x+1∈Z6[x]，可以类似复数域上多项式凑成平方式：f(x)=(x+1)^2，但要注意f(x)之系数都是Z6之元素。∴f(x)之根为x=-1=5法二：设f(x)=x^2+2x+1∈Z6[x]，则f(x)在Z6中要么没有根，要么有根α∈Z6={0,1,2,3,4,5}，因此将Z6元素逐一代入f（x），验证其是否等于0即可，有：f（0）=1，f（1）=4，f（2）=9=3，f（3）=16=4，f（4）=25=1，f（5）=36=0；∴f（x）之根为x=5注意，一般环上多项式求零点，不一定可以直接用求根公式 法一：设f(x)=x^2+2x+1∈Z6[x]，可以类似复数域上多项式凑成平方式：f(x)=(x+1)^2，但要注意f(x)之系数都是Z6之元素。∴f(x)之根为x=-1=5法二：设f(x)=x^2+2x+1∈Z6[x]，则f(x)在Z6中要么没有根，要么有根α∈Z6={0,1,2,3,4,5}，因此将Z6元素逐一代入f（x），验证其是否等于0即可，有：f（0）=1，f（1）=4，f（2）=9=3，f（3）=16=4，f（4）=25=1，f（5）=36=0；∴f（x）之根为x=5注意，一般环上多项式求零点，不一定可以直接用求根公式 先试着翻译一下(这个题需要你翻一下离散数学里 关于群 子群的定义 和性质)： 1、设Cmn= 做自然同态f:G->G/N，若G/N是单群，则N必是G的极大正规子群，否则可设H是真包含N的G的正规子群，则G/H≌(G/N)/(H/N)，由对应定理f(H)=H/N是G/N的真正规子群（因为H/N≠N），与G/N是单群矛盾反过来，若G/N不是单群，则N必不是极大正规子群，因为此时G/N有真正规子群N/H，所以f-1(N/H)=H是G的真包含N的正规子群，与N是极大正规子群矛盾。 1a 按子群的定义去证明即可，H为G的子群《===》对任意a,b∈H, a·b^(-1)∈H。本题即证明任给x，y∈H1∩H2，有x·y^(-1)∈H1∩H2由于x，y∈H1，所以x·y^(-1)∈H1，同理x·y^(-1)∈H2所以x·y^(-1)∈H1∩H2 ，H1∩H2 是G的子群。1b G为整数加法群Z，H1=<2> ,H2=<3> 即H1为2的倍数，H2为3的倍数 H1和H2为子群，但H1∪H2不为子群，很明显5=2+3不属于H1∪H2 不满足封闭性。2 证明写出来有点长，第一同态定理，建议你看看书，网上有很多中文的近世代数书First homomorphism theoremLet G and H be groups, and let φ: G → H be a homomorphism. Then:The kernel of φ is a normal subgroup of G,The image of φ is a subgroup of H, andThe image of φ is isomorphic to the quotient group G / ker(φ).In particular, if φ is surjective then H is isomorphic to G / ker(φ).证明建议你看看就是证明Q对Z的商群的元素只有有限阶。很简单 ，Q中任何一个元素可以写成 m/n 其中m和n 是整数那么任给 r= m/n+Z ∈Q/Z 有nr=n(m/n+Z)=m+Z=Z=0+Z 即nr为Q/Z中单位元，r的阶为n，有限阶证明H是G的子群且其指标【G：H】=2，证明H为G的正规子群H是正规子群的定义是 任给g属于G，h属于H,有 g乘H乘g的逆=H【G:H】=2,则|G/H|=2,设G/H={H,aH} ,则G=H∪aH，其中a不属于H因为H在G中的指数为2,所以Ha,aH都是G的不同于H的子群,所以必有Ha=aH成立. 所以aH(a的逆)=H若g属于H，显然g乘H乘g的逆=H 若g属于aH，g=ab 其中b属于H ，呢么 g乘H乘g的逆=abH(b的逆)(a的逆)=aH(a的逆)=H素数阶群一定是循环群。设p为素数,|G|=p,由于G的所有元素的阶都可以被p整除,故任取a∈G,a的阶要么是1要么是p,只有单位元e的阶为1，自然G中必有阶为p的元素设a的阶=p,如此a^p=e且e、a、a^2、a^3…a^(p-1)∈G是不同的p个元素注意|G|=p,故G={1,a,a^2…a^(p-1)}=, G是由生成元a生成的循环群. 做自然同态f:G->G/N，若G/N是单群，则N必是G的极大正规子群，否则可设H是真包含N的G的正规子群，则G/H≌(G/N)/(H/N)，由对应定理f(H)=H/N是G/N的真正规子群（因为H/N≠N），与G/N是单群矛盾反过来，若G/N不是单群，则N必不是极大正规子群，因为此时G/N有真正规子群N/H，所以f-1(N/H)=H是G的真包含N的正规子群，与N是极大正规子群矛盾。 1)先证G中任意子群H都正规，设H=G^t,任给x属于G，xHx-1=xG^tx-1=G^t=H2)再证素数阶元是中心元，设g是素数p阶元，则xgx-1=g^i(2<=i<=p-1),g-1xg=x^j所以g^ix=xg=gx^j,g^(i-1)=x^(j-1)，但(i-1,p)=1，所以g^(i-1)是g的生成元，故g是x的幂，所以gx=xg任给y∈G，设素数p│o(y),但p不│n,则 这个题目是有问题的。设环R={[a b；0 c]}，其中a，b，c为实数。也就是实数域上的2阶上三角矩阵做成的环。可知单位矩阵是其单位元，纯量矩阵是其全部中心元素。但是其中心（也就是纯量矩阵做成的环），不是R的理想。 自考，就是自学考试，学习方式可以自己业余学，也可以参加院校办的自考班。专业从汉语言文学、英语、计算机到行政管理有很多，省自考办每年都公布考试计划，一般在四月和十月。自考分专科和本科，专科要求高中文化程度，本科还有专科起点（专升本）。 你好1：自考也就是自学考试，主要是通过业余时间来学习先是考大专，通过所有的单科成绩后发由主考院校发给大专文凭，国家承认学历2：自者的专业很多，你可以报适合你身的专业3：可以报补习班，也可以不报，方法灵活依据本人的自身条件来考虑是否报和不报4：自考大考和小考：自考一年有两个大考，分别是4月和10月，两个小考，1月和7月，大考各个县级以上都会有，小考则多数只有市一级才有，大考考的比较全，小考只会考些公共科，可以跨区报名考试. 5：先考专科：是中华人民共和国公民，不受性别、年龄、民族、种族、学历、身体健康状况、居住地等限制(不限制户口，可在异地报考毕业)，均可按省级自学考试机构规定的时间和地点报名参加考试如果报本科阶段，必须是大专以上｛含大专｝的文化程度必须为具有国家承认的正式专科学历者方可报考高等教育自学考试本科段。党校及干部函授大学专科毕业人员，不具备参加本科段考试的资格。更详细的请参考参考资料：百度百科 可以根据自己的学习情况考试。加考的课也是必须要考的，什么时候学的自己认为可以了，能考试通过了就报考。否则报了也是白报。办理本科毕业手续的的时候，先审查必修课和选修课（包括实践类科目）是否合格，如果需要加试才能毕业的专业，还要看看加试的门数、分数是否已经达到；再看论文是否合格，还要看专科的毕业证是否为国家承认学历的，还要看看试卷是否有替考的，如果都合格就没算通过了。山东的自学考试目前没有加考的概念，无论你是什么专业毕业的，只要完成本科计划，就可以办理本科毕业手续。但是有一点：外省转到山东的考试的，至少要在山东考三门，不够三门的不给办理毕业手续。 随便你爱什么时候考啊！不过我建议你是：先考专业课，再考公共课最后再考加考的课。或者后两项对换，但一定要专业课先考！因为公共课是每考必有的；而专业课不是！抽象代数2018年自考本科题答案
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