自学考试线性代数笔记

那么我们如何求解 呢？还是使用消元法，之前我们说使用消元法求解方程 时，我们对一种情况是无法处理的，那就是矩阵 不可逆的情况，之前对这种情况的解释是 求出的解不唯一 ，这其实正好对应了现在我们所认识到的“空间”的概念。我们从最简单的零空间（ ）的计算谈起。

例1： ，求 中的 构成的零空间

先将方程写出，如下

首先观察矩阵 我们发现，第三行是前两行的和，这意味着即使主元为 ，我们也得继续消元下去。那么按部就班，有

在消元的过程中，我们发现矩阵 的 主元（Pivot） 数量为 （ 和 ），主元的个数称为矩阵的 秩（Rank) ，因此在本题中矩阵 的秩为 。

接下来就是回代求解了，由于消元得到的 不是一个严格的上三角矩阵，对角线上的 给我们造成了解不唯一的麻烦，所以这里我们先来声明几个概念

中，列 和 被称为 主列（Pivot Columns，主元所在的列） ，其余两列 和 被称为 自由列（Free Columns） ，所谓自由列就是表示其对应的未知变量 （ 表示自由列是第 列）可以被任意分配值。因为回代求解时，只有主列对应的未知数的解有确定值。因此矩阵 中的 主变量（主元） 为 和 ， 和 为 自由变量 。

（1）我们假设，令 ，代入方程

解得

因此当 时，解向量为 ，这只是零空间中的一个解，这个解表示 倍的列 倍的列 ，如果想找出更多零向量中的解，我们只需要求它的倍数，所以 ，这是一条在四维空间中无限延伸的直线，但它不是整个零空间。

（2）我们再令 ，代入方程

解得

因此当 时，解向量为 ，因此另一条在四维空间中的直线为

那么还能为 赋其他值吗？很明显其他情况都可以被 和 的线性组合所涵盖，所以这两个解向量足够代表空间的特征了，我们称这两个解向量为 特解 ，其特殊之处在于我们给自由变量赋值为 和 。通过特解的任意倍的线性组合，可以构造出整个零空间。因此便得出了矩阵 的零空间

对于一个 的矩阵A，若其秩为 ，那么意味着其主变量为 个，而自由变量为 个。也就是说，只有 列起作用。我们需要先对矩阵 进行消元，得到 个主元，由于有 个变量 ，我们再将其中的 个自由变量依次赋值为 。接着求解方程的特解，将特解的任意倍进行线性组合即可得到矩阵 的零空间。

尽管上面的消元法看上去已经很完美了，但事实上仍有化简的余地，最后得到的 矩阵仍可以被进一步化简。我们以上文中的 为例，继续化简的目标是令对角线上的主元为1，并且通过列交换将主元放在一起，把自由列放在一起来构成新的矩阵，操作如下

也就是说最终我们能将上三角矩阵 化简成矩阵 ，矩阵 的一般形式为

其中， 表示主列，由于 个主列的主元被化简成了 ，因此这部分变成了 维单位矩阵， 表示自由列，共有 个自由列。有了矩阵 我们可以改写 的表达形式

这里的 为零空间矩阵，即各列向量由特解组成的矩阵

需要注意的是，这里的单位矩阵和矩阵 中的有所不同，这里的 是 维的，是将 个自由变量分别赋值为 或 得到的。将上文中的示例代入到 和 ，得到

由于 和 是主列， 和 是自由列，因此只需交换零空间矩阵中的第2、3行即可得到特解 和 。 因此将矩阵 化简称矩阵 可以直接求解零空间。 我们用下面一个例题来试验一下：

例 ，求解 中 构成的零空间。

（1）将 消元为 ：

（2）将 化简为 ：

（3）得到零空间矩阵 ：

（4）得到零空间：

对于 我们知道这个方程不一定有解，在之前的章节中说明了 是否有解取决于 是否在 的列空间中，我们再通过一个例子来说明一下

例 求方程 的可解条件。

在这个方程中，观察矩阵A，发现矩阵中第三行为第一行和第二行的和。根据之前的Gauss-Jordan消元法，我们可以得到

代入方程，会发现最后一行 ，这一行方程必须成立，因此这一行就是方程的可解条件。同时，它还反映了 向量的第三个分量是前两个分量之和，这也与矩阵 的特点一致，这也印证了 是否有解取决于 是否在 的列空间中。

结合之前的章节总结出 有解条件：

接下来介绍通解和特解，通解就是满足方程所有的解，将“无穷解”用一种形式表达出来，对于 这个方程

因为矩阵零空间向量代入方程最后结果等于 ，所以它不会影响等式，而是把方程的解向量扩展到一个类似子空间上，使我们求出的解更具有普遍意义，而求解零空间我们在上文也已经介绍，下面我们只需要关注如何求特解即可。在之前求解 方程的特解时，我们分别将自由变量赋值为 或 ，得到

观察这个表达式会发现，只要将系数 和 定为 就可以得到零空间中的零向量，而且我们不能在求解 时将自由变元都赋为 。但是在 中，只要 不是 ，我们就可以将自由变元全部赋为 ，使用此方法即可得到特解。

接下来补充上述例题中方程的条件

Gauss-Jordan消元后得到

将 回代方程得到

解得特解为

利用上一节的知识我们很容易求出 的零空间为

因此 的解为

这个解集在几何角度的解释是 上的一个不过原点的二维平面，显然这个解集无法构成一个向量空间，因为解集中不包含零向量。

我们在消元求 的过程中会发现，矩阵的秩对最后解的形式有着重要的影响，下面我们来总结一下其中的规律。

对于 的矩阵 ，列满秩时，意味着没有自由列， ，此时零空间中只有零向量（不需要求零空间）， 的解要么有解且唯一（特解 ），要么无解。例如

消元，由于两列线性无关，因此只有两个主元，逐行减去第一行的若干倍，行三和行四清零，得到第二个主元，然后各行都减去第二个主元的若干倍，最终第二个主元化为 的得到矩阵

对于 的矩阵 ，行满秩时，意味着有 个主元（每一行各一个）， ，此时自由变元有 个，必然有解而且有无穷多解，例如

最后我们会消元得到

对于 的矩阵 ，行列满秩时，意味着矩阵可逆， ，此时自由变元有 个，经过消元，最终矩阵可化为单位矩阵 ，即一个全是主元的方程组，最终只能有一个唯一解。例如

最后消元得到

对于 的矩阵 ，不满秩时，意味着通过消元最终会得到 ，因此方程的解要么无解，要么无穷多解（特解+零空间所有向量）

综上所述，会发现自由变量总为 个，所以通过判断自由变元的个数可以初步判断 的解的结构：如果没有自由变元，意味着方程的解唯一或者无解；如果存在自由变元，意味着方程的解有无穷多解或者无解。也就是说，自由变元是否存在决定了方程的解是否唯一。另一点是，可以通过观察消元后矩阵 是否存在 行来进一步判断方程是否有解：如果矩阵 中没有零行时，意味着方程一定有解；如果存在零行，则需要考虑方程是否满足可解条件。

除此之外，我们还发现了零空间实际上就是用来判断矩阵 的各列向量是否是线性无关的，如果各列向量是线性无关的，那么零空间中只有零向量，如果各列向量是线性相关的，那么零空间中除了零向量还有其他向量。因此零空间反映的就是 各列向量的线性组合。

当我们求解方程时，例如

矩阵表达如下

除了使用消元法或判断矩阵是否满秩以外，我们还可以从列空间的角度来看这个方程，改写一些这个矩阵表达如下

那么我们判断这个方程是否有解的条件实际上就是判断向量 是否在以向量 和向量 构成的列空间中，换句话说，向量 是否可以表达成向量 和向量 的线性组合。由于向量 和向量 是线性无关的，因此可以张成一个二维平面，而向量 只是其中的一个二维向量，因此可以推断出方程一定有解。