自学考试线性代数公式

因为α1=(2,2,4,a),α2=(-1,0,2,b),α3=(3,2,2,c),α4=(1,6,7,d),该四个向量线性相关所以存在不全为零的数x,y,z,w,使得xα1+yα2+zα3+wα4=0,把α1,α2,α3,α4代入得到方程组2x-y+3z+w=02x+2z+6w=04x+2y+2z+7w=0ax+by+cz+dw=0,这个方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为0（或者是系数矩阵的秩

有一些课堂笔记， 不知道对你有没有用，还是发给你吧第一章 行列式 线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。1.1 行列式的定义 （一）一阶、二阶、三阶行列式的定义 （1）定义：符号 叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为： 。 注意：在线性代数中，符号 不是绝对值。 例如 ，且 ； （2）定义：符号 叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为： 所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。例如 （3）符号 叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为 例如 =0 三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。 例如： （1） =1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0 （2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1 a为何值时， [答疑编号10010101：针对该题提问] 解 因为 所以8-3a=0， 时 例2 当x取何值时， [答疑编号10010102：针对该题提问] 解：解得 01）： [答疑编号10010307：针对该题提问] 解 将行列式按第一列展开，得例12 计算范德蒙德（VanderMonde）行列式： [答疑编号10010308：针对该题提问]例13 计算 [答疑编号10010309：针对该题提问] 例14 计算 [答疑编号10010310：针对该题提问]=（x+4a）（x-a）4 1.4 克拉默法则 由定理1.2.1和定理1.3.1合并有 或 （一）二元一次方程组 由a22①-a12②得 由a11②-a21①得 令 =D =D1 =D2 则有 ∴当D≠0时，二元一次方程组有唯一解（二）三元一次方程组 令 叫系数行列式 ， ， 由D中的A11①+A21②+A31③得 即 由D中的A12①+A22②+A32③得 即 由D中的A13①+A23②+A33③得 即 ∴当D≠0时，三元一次方程组有唯一解一般地，有下面结果 定理（克拉默法则） 在n个方程的n元一次方程组 （1）中，若它的系数行列式 ≠0则n元一次方程组有唯一解。 推论：在n个方程的n元一次齐次方程组 （2） 中（1）若系数行列式D≠0， 方程组只有零解 （2）若系数行列式D=0 则方程组（2）除有零解外，还有非零解（不证）例 在三元一次齐次方程组 中，a为何值时只有零解，a为何值时有非0解。 [答疑编号10010401：针对该题提问] 解： =2a-6+3-4-（-9）-a=a+2 ∴（1）a≠-2时，D≠0,只有零解 （2）a=-2时 ，D=0 ，有非零解。 本章考核内容小结 （一）知道一阶，二阶，三阶，n阶行列式的定义 知道余子式，代数余子式的定义 （二）知道行列式按一行（列）的展开公式（三）熟记行列式的性质，会用展开公式或将行列式化为三角形的方法计算行列式 重点是三阶行列式的计算和各行（列）元素之和相同的行列式的计算 （四）知道克拉默法则的条件和结论 本章作业 习题1.1 1.（1）（4）（5）（6） 3.（1）（2） 习题1.2 1、2、3.（1）（2）（3），4.（1） 习题1.3 1.（1）（2）（3） 2.（1）（2） 4.（1）（2） 5、6.（1）（2）（3）（4）（5）（8）（11）（12）（14）