概率与数理统计自考题答案解析

U(-1,1)  -->

f(x) = 1/2 for -1 < x < 1;  0, otherwise.

E{X}=∫xf(x)dx=(1/2)∫xdx=0  (x is an odd function.)

D(x)=E{X²}=∫x²f(x)dx=(1/2)∫x²dx=2(1/2)(1/3)=1/3

回答：U(-1, 1)标示在区间[-1, 1]的均匀分布。其概率密度函数是f(x)=1/[1-(-1)]=1/2。所以，μ=∫{-1, 1}x(1/2)dx = 0。σ^2=∫{-1, 1}x^2(1/2)dx = 1/3。

拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。

19世纪末，俄国数学家切比雪夫、马尔可夫、李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。20世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。这方面柯尔莫哥洛夫、维纳、马尔可夫、辛钦、莱维及费勒等人作了杰出的贡献。

第一步，H0：u（均值mu）=100；H1：u不等于100第二步，由于方差o^2已知为9，所以用U统计量，U=(X_bar - u)/(o/根号n)……其中，X_bar为X上面加一横，是X的均值，o为标准差。于是统计量U服从于N（0,1）。第三步，拒绝域为W={U的绝对值 > u(1-a/2)}。第四步，分别计算拒绝域中的量，U的绝对值=l（98.6-100）/（3/4）l =1.867，u(1-a/2)=u(0.975)=1.96。所以拒绝域中的“>”不成立，所以不拒绝原假设，认为该装米机的工作正常。H0：u（均值mu）=70；H1：u不等于70由于方差o^2未知，所以用t统计量，t=(X_bar - u)/(s/根号n)……其中，s为样本标准差。于是统计量服从于t（n-1）=t（35）。拒绝域为W={l t l > t (1-a/2)(n-1)}={l t l > t (0.975)(35)}计算：l t l = l （66.5-70）/ （15/6） l =1.4， t (0.975)(35)=2.0301。所以拒绝域中的“>”不成立，所以不拒绝原假设，认为这次考试全体考生的平均成绩为70。H0：o^2=0.044^2；H1：o^2不等于0.044^2由于均值未知，所以用卡方统计量（用X^2表示吧），X^2=(n-1)S^2 / o^2。它服从于X^2（n-1）=X^2（5）。拒绝域为W={X^2 < X^2(a/2)(n-1) 或 X^2 > X^2(1-a/2)(n-1)}={X^2 < X^2(0.025)(5) 或 X^2 > X^2(0.975)(5)}。计算：对样本有：x_bar=1.477，S^2=0.0745，所以X^2=5*0.0745/0.044^2=192.347（不知道算错没。。。）。而X^2(0.025)(5)=0.831，X^2(0.975)(5)=12.833。落入拒绝域，所以拒绝原假设，认为该日纤度的总体方差不是仍为0.044^2。