数学集合知识点总结
集合是高中数学中的一个重要考点，相关的知识掌握并不是十分的难，下面是我想跟大家分享的数学集合知识点总结，欢迎大家浏览。
一、知识归纳：
1、集合的有关概念。
1）集合（集）：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）、其中每一个对象叫元素
注意：
①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性（a？A和a？A，二者必居其一）、互异性（若a？A，b？A，则a≠b）和无序性（{a，b}与{b，a}表示同一个集合）。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件
2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法
3）集合的分类：有限集，无限集，空集。
4）常用数集：N，Z，Q，R，N*
2、子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1）子集：若对x∈A都有x∈B，则A B（或A B）；
2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；记为A B（或 ，且 ）
3）交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}
4）并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}
5）补集：CUA={x| x A但x∈U}
注意：
①？ A，若A≠？，则？ A ；
②若 ， ，则 ；
③若 且 ，则A=B（等集）
3、弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：
（1） 与 、？的区别；
（2） 与 的区别；
（3） 与 的区别。
4、有关子集的几个等价关系
①A∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；
④A∩CuB = 空集 CuA B；⑤CuA∪B=I A B。
5、交、并集运算的性质
①A∩A=A，A∩？ = ？，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪？ =A，A∪B=B∪A；
③Cu （A∪B）= CuA∩CuB，Cu （A∩B）= CuA∪CuB；
6、有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n—1个非空子集，2n—2个非空真子集。
二、例题讲解：
【例1】已知集合M={x|x=m+ ，m∈Z}，N={x|x= ，n∈Z}，P={x|x= ，p∈Z}，则M，N，P满足关系
A） M=N P B） M N=P C） M N P D） N P M
分析一：从判断元素的共性与区别入手。
解答一：对于集合M：{x|x= ，m∈Z}；对于集合N：{x|x= ，n∈Z}
对于集合P：{x|x= ，p∈Z}，由于3（n—1）+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以M N=P，故选B。
分析二：简单列举集合中的元素。
解答二：M={…， ，…}，N={…， ， ， ，…}，P={…， ， ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。
= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，
= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以选B。
点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。
变式：设集合 ， ，则（ B ）
A、M=N B、M N C、N M
解：
当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B
【例2】定义集合A*B={x|x∈A且x B}，若A={1，3，5，7}，B={2，3，5}，则A*B的子集个数为
A）1 B）2 C）3 D）4
分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。
解答：∵A*B={x|x∈A且x B}， ∴A*B={1，7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。
变式1：已知非空集合M {1，2，3，4，5}，且若a∈M，则6？a∈M，那么集合M的个数为
A）5个 B）6个 C）7个 D）8个
变式2：已知{a，b} A {a，b，c，d，e}，求集合A。
解：由已知，集合中必须含有元素a，b。
集合A可能是{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}。
评析 本题集合A的个数实为集合{c，d，e}的真子集的个数，所以共有 个 。
【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0}，B={x|x2？4x+r=0}，且A∩B={1}，A∪B={？2，1，3}，求实数p，q，r的值。
解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12？4×1+r=0，r=3。
∴B={x|x2？4x+r=0}={1，3}， ∵A∪B={？2，1，3}，？2 B， ∴？2∈A
∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的两根为—2和1，
∴ ∴
变式：已知集合A={x|x2+bx+c=0}，B={x|x2+mx+6=0}，且A∩B={2}，A∪B=B，求实数b，c，m的值。
解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m？2+6=0，m=—5
∴B={x|x2—5x+6=0}={2，3} ∵A∪B=B ∴
又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=—（2+2）=4，c=2×2=4
∴b=—4，c=4，m=—5
【例4】已知集合A={x|（x—1）（x+1）（x+2）>0}，集合B满足：A∪B={x|x>—2}，且A∩B={x|1
分析：先化简集合A，然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。
解答：A={x|—21}。由A∩B={x|1—2}可知[—1，1] B，而（—∞，—2）∩B=ф。
综合以上各式有B={x|—1≤x≤5}
变式1：若A={x|x3+2x2—8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0}，已知A∪B={x|x>—4}，A∩B=Φ，求a，b。（答案：a=—2，b=0）
点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。
变式2：设M={x|x2—2x—3=0}，N={x|ax—1=0}，若M∩N=N，求所有满足条件的a的集合。
解答：M={—1，3} ， ∵M∩N=N， ∴N M
①当 时，ax—1=0无解，∴a=0 ②
综①②得：所求集合为{—1，0， }
【例5】已知集合 ，函数y=log2（ax2—2x+2）的定义域为Q，若P∩Q≠Φ，求实数a的取值范围。
分析：先将原问题转化为不等式ax2—2x+2>0在 有解，再利用参数分离求解。
解答：（1）若 ， 在 内有有解
令 当 时，
所以a>—4，所以a的取值范围是
变式：若关于x的方程 有实根，求实数a的取值范围。
解答：
点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
一、集合与函数概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：元素的确定性；元素的互异性；元素的无序性。
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A
列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法
二、函数的有关概念
1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f（x），x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）| x∈A }叫做函数的.值域。
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A B”
给定一个集合A到B的映射，如果a∈A，b∈B。且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，
①集合A、B及对应法则f是确定的；
②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；
③对于映射f：A→B来说，则应满足：
（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
拓展阅读：学习数学的方法
第一、兴趣。
如今的家庭和学校对孩子的期望很高，而且女生的性格普遍较为文静，心理不够强大，还有的就是数学这科目难度相对来说较高，很容易会导致女生对数学的兴趣降低。
所以说，作为老师应该多关心她们的学习情况，多与她们交流科目上的内容，了解她们的想法，只有理解她们的想法才能有效的制定相应的学习计划，为她们驱除紧张的情绪，从而达到一个好的学习状态。与此同时，作为家长的应该多关心孩子的情况，不要一看到成绩不好就开口训斥，这样对孩子的心理会造成一定的影响，甚至可能削弱孩子对数学的兴趣。我们应该用积极的态度去对待孩子的学习，女生的情感与男生不同，她们对于感兴趣的，一般会更有耐心克服困难，达到自己的目标。
第二、自信。
女生的形象思维能力一般比男生要差，逻辑思维能力也如此，所以容易造成没有信心的现象。事实上，女生在运算准确率方面是很高的，也比较规范，所以我们看到女生的数学答题大都很工整，其实这是一个优点。
所谓每个人都有优缺点，我们不应该因为自己的缺点而妄自菲薄，而是应该努力克服缺点，增强自己的自信心，在学习上应该多了解通解通法，还有一些常用的数学公式，解题技巧，还有解题速度。很多女生解数学题的速度都不快，甚至有些女生到时间了还有几道大题没做，这样丢分是让人很遗憾的。
第三、学习方法。
很多女生在学习数学的时候喜欢按部就班，注重基础，但是却很少做难题，所以便导致了解题能力薄弱。女生上课的时候很认真，复习的时候喜欢看笔记和书本，但是却忽视了对自己能力的训练，所以导致了自己适应性比较差。
所以，女生应该从这几点下手，多下功夫，对于难题我们不要害怕，但是也不能一味地做难题，适当的训练，对于自己的数学能力是有很大提升的。还有，女生在学习数学的时候应该多向男生学习，学习他们的一些优秀技巧，进而转化为自己的学习技巧，结合在做题上，多训练，相信对自己的数学水平是有很大帮助的。
第四、课前预习。
正所谓“笨鸟先飞”，我们经过预习可以提前对新内容有一个大概的了解，从而在听课的时候能够有的放矢，对自己不了解的知识点着重注意，很可能会有奇效。而提前预习，还能对女生的心理有一个暗示，对女生的信心提高也是有极大的好处。
二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。我整理了一些二次函数的知识点。
一般地，我们把形如y=ax²+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。
1、一般式
y=ax²+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为[-b/2a,(4ac-b²)/4a]
把三个点代入式子得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
2、顶点式
y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k），对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
3、交点式
y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)[仅限于与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B（x²，0）的抛物线，即b²-4ac≥0]。
已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）,我们可设y=a(x-x₁)(x-x₂)，然后把第三点代入x、y中便可求出a。
以上是我整理的二次函数的知识点，希望能帮到你。
高中数学都没学，还高等数学？
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在 考研 的所有科目中，数学可以算得上是拉分差距最明显的科目了。每年成绩出来，数学接近满分的同学很多，未满及格线的同学也是一抓一大把。那么接下来给大家分享一些关于，希望对大家有所帮助。
考研数学知识点
第一章 行列式
1、行列式的定义
2、行列式的性质
3、特殊行列式的值
4、行列式展开定理
5、抽象行列式的计算
第二章 矩阵
1、矩阵的定义及线性运算
2、乘法
3、矩阵方幂
4、转置
5、逆矩阵的概念和性质
6、伴随矩阵
7、分块矩阵及其运算
8、矩阵的初等变换与初等矩阵
9、矩阵的等价
10、矩阵的秩
第三章 向量
1、向量的概念及其运算
2、向量的线性组合与线性表出
3、等价向量组
4、向量组的线性相关与线性无关
5、极大线性无关组与向量组的秩
6、内积与施密特正交化
7、n维向量空间(数学一)
第四章 线性方程组
1、线性方程组的克莱姆法则
2、齐次线性方程组有非零解的判定条件
3、非齐次线性方程组有解的判定条件
4、线性方程组解的结构
第五章 矩阵的特征值和特征向量
1、矩阵的特征值和特征向量的概念和性质
2、相似矩阵的概念及性质
3、矩阵的相似对角化
4、实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵
第六章 二次型
1、二次型及其矩阵表示
2、合同变换与合同矩阵
3、二次型的秩
4、二次型的标准型和规范型
5、惯性定理
6、用正交变换和配 方法 化二次型为标准型
7、正定二次型及其判定
考研数学复习之拿高分方法
一、理性分析三个组成部分，各个击破
我们知道数学整个试卷的组成部分是：高数82分+线代34分+概率论34分;很明显微积分占了绝大部分;另外概率论里面很多题目要用到微积分的工具，实际上微积分的分数比82分要高，应该是能到100分左右。所以同学们在前期复习的时候一定要把微积分的基础打扎实;线性代数再难，毕竟内容不多。而且矩阵、向量、线性方程组、特征根与特征值、二次型本质思想都是一致的。用来用去的基本工具就是对矩阵做初等变换，求线性方程组解的结构，线代难是难在每个部分的基本思想都是一样的，但却是不同的概念。就导致章节之间的联系特别紧密，逻辑关系严密：比如线性相关无关的问题跟齐次方程组有没有非零解本质上是一模一样的;向量线性相关和无关的一些证明都可以用线性方程组的解去简单完成;也就是因为知识点这种内在的极大相关性提高了线性代数的考试难度。但由于线性代数知识点本身不多，只要把每一部分都熟练到一定程度，深刻理解掌握，自然而然也就能掌握其中的联系和逻辑了。
第三部分的概率论很多基本概念我们在高中的时候其实已经接触到了，一些简单的事件概率的运算、基本概型我们也都早就学过。总体来说概率论是三个部分中最简单的。不但内容少，而且每年考的题型也都特别固定。这部分内容我真的认为完全可以用突击来完成的。综上所述：微积分是整个考研的难点、重点。必须脚踏实地把基础打扎实;线性代数是难点，这个用熟练程度和思考可以破;概率论，只要你前面的知识学的够扎实，就完全没问题。另外在复习过程中，不少同学问我，要不要同时看微积分、线性代数、概率论;这里我的建议是：合力于一点，各个击破!谦虚谨慎，不骄不躁。
二、聚焦精力、选好教辅
每年都有一个现象，就是在选教辅书上， 经验 贴里提到的，师兄师姐提到的，一切 渠道 提到的所谓比较好的资料，巴不得全买了，但是买回来后又有多少人能全部做完呢。这里我不得不提醒下：须知考研数学考的是深度，而不是广度;我一直认为有三套书就足够了：
(一)教材，高数同济版的;线代统计五版;概率论浙大四版;
但这里不得不提醒大家，这四本书如果全部看下来掌握透彻，是需要很大时间和精力的;里面很多东西是所不考的，即使大纲里有。其实在复习的时候，很多同学把过多的精力，放在了那些不考，而且比较偏的题目上。就会导致大量的精力浪费。为此，我在教授数学中，就会提前给一份预习大纲，哪些考哪些不考;课后习题哪些做，哪些不做。从而能让大家精力聚焦。
(二)真题
不管怎么说，每一本习题里都参照了不少真题原型，甚至直接就是真题。真题的价值不必多说。但是每个同学对待的也很简单，只要做对了，就pass掉了。不回头去想你的做法或者你的思维是否符合命题人的要求。关于真题，对于比较好的典型题做5遍左右是比较合适的。对一些很常规的题，可以2-3遍就可以了。总之一定要深刻研究真题，让真题的价值发挥到最大。我忠告：市面上教辅书很多。我认为只要你选择大家公认的，把其价值发挥到大，认真去研究就足够了。不要人云亦云，购买过多的教辅书，导致自己精力分散，反而没有达到考研要求的深度和难度。
三、掌握正确的 复习方法 ：杀人诛心
在复习数学时，确实每个人都有自己的想法，但是切记你怎么想不重要，关键是命题人怎么想。尤其是在做题的时候，千万不要简单地以能不能做出来为标准。一定要去分析背后所用的知识点以及考试逻辑。最后一定要问自己，这种方法是不是命题人想我用的方法。有哪些不足，有哪些忽略的细节，一定要好好审视。另外数学考试特点：学会思考而不是学会做题，但是在我们对一道题足够熟悉前，是很难产生想法的;所以在整个复习过程中，我一直要求学生：先熟悉，然后一定要经过自己的思考才能真正把这道题变成自己的，才能做到举一反三，以不变应万变。另外同学在做题的时候容易出现两个误区：
1、上来就动手，做过真题的同学就会发现，很多题目的设置是很有技巧的;这个技巧不是那种投机取巧，是需要你对知识点足够熟悉，需要你思考下才能想出来的。我记得这几年考试，很多10、11分的答题，我整个做出来都不到一分钟。当然很多同学可能不相信，在课堂上我也都亲自展现给同学们。不是说我厉害，而是当你熟练到一定程度的时候，就会跟命题人心有灵犀一点通了。所以做题的时候一定要：一看二想三动手。
2、刻意去记一些巧方法，考研数学中，我一直认为最好的方法绝对不是投机取巧，而是自然而然的方法，比如费马引理可能不会直接考到，但是它的证明你运用的思想和思维都是考研中必须要用到的。所以必须认真掌握其证明。
考研数学复习指南
1.思考着去做题，去 总结
很多学生都有这样的困惑，做了很多题但不会的题还是很多，最可气的就是很多题明明做过，但是再遇到还是不会做!这就是很多同学存在的通病，不求甚解。总以为不会做了，看看答案就会了，并不会认真的思考为什么不会，解题技巧是什么，和它同类型的题我能不能会做等等。其实，这些都是很重要的，提醒大家要学着思考，学着“记忆”，最重要是要会举一反三，这样，我们才能脱离题海的浮沉，能够做到有效做题，高效提升!
2.侧重基础，培养 逆向思维
很多时候，备考者会陷入盲目的题海中，这也是很多考生对数学感到头痛的原因所在。其实在前期复习知识点的时候，就应该把定义、定理的推导作为一个重点内容，重视推导和例题中的方法与技巧，认真分析这些方法，将它们套用到相应的练习题中，比做大量的重复练习要高效得多。
同时，思维习惯大大影响着学习效果。当进入考研数学复习备考的时候，大多数人继承了以往学习的习惯，思维也基本上定型了，也就是进入了定势思维。习惯性思考方式在一方面有优势，另一方面也制约着学习成绩的提高，我们现在要做的就是打破惯性思维!
3.做题有始有终，提高计算能力
数学不等于做题，但是不可避免的是学好数学一定要做题，那么如何做题?我们说基础的扎实巩固是根本，再这个基础上进行做题。同时，提醒大家的是复习一定要养成一个好的习惯，拿到的数学题一定要有始有终把它算出来，这是一种计算能力的训练，尤其是计算量大的时候，如果没有平常这样一个训练，在实际考试的时候在短时间内是很难心有余力也足的。
4.深入思考，善于总结
考试里不仅仅是考察我们基本概念、基本理论、基本方法的问题，还涉及到我们灵活运用知识的能力问题，所以仅仅是依靠教材很难把它这种考试命题的特点归纳总结出来，因此要了解考试，历年考试的真题作为准备去参加研究生考试的同学是必备的。
大家选真题的时候应该考虑到能不能通过真题的分析帮助我们真正的归纳总结这样一些题型出来，针对每一个问题我们应该如何去分析和讨论在分析讨论过程中间，有没有一些可能的变化情况，这些变化情况到现在为止，考到了哪一些，那一些就是我们下一步复习应该注意的，这样每一部分你都能够这样去归纳、总结或通过这种相关的辅导书帮助你归纳总结出来了，复习就更有针对性。
5.揣摩真题，把握方向
真题的作用是不容忽视的，经过十几年的考试，相当多的题目模式已经定了下来，很多考研题目都是类似的。考研真题经过千锤百炼，在思想性上有较高的参考价值，需要多加揣摩。尤其是近两年的考题，反映了命题者出题的方式和思路，更要注意。所以，同学们一定要把真题重视起来!
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★ 2020年考研数学复习方法
自考高数知识点可以登录查找。作为专门的在线教育平台，的备考指导栏目就专门收录有自考的历年真题和模拟练习题，还有备考的知识点指导。点击底部咨询官网。 自考学习 1全面提升学习兴趣，比机械记忆强太多 学习兴趣是最关键的，我们在复习的时候，对于刚接触的学习材料抱有新鲜感，利用好这心态，进行最全面的学习备考材料，圈要点、查资料、做笔记。全面学习的趣味性非常高，考生也能基本掌握考试内容。 兴趣是学习最大的动力。 2深入学习，发掘重点 当我们对所学内容有了基本的了解后，就要开始深入学习，对照考纲挖掘所学内容里的重点，最后将书里的重点内容，反复记忆、消化。 因为自考试题是从题库中出来的，往往会反复考到，只要把这些题目都牢记于心，及格率大大增加。 3熟能生巧，量化试题 根据大纲复习，要求识记和掌握的重点背下来，就可以有好的成绩。 在复习的时候，也不仅仅看书、做笔记这么简单，要知道我们是自考生！在读书复习的时候，大量做考卷做试题，才能让我们自己发现不足之处重点突破。 4知识有共性，举一反三 在我们不断进行学习、做习题的时候，还要学会总结，易错的地方马上纠正，并发现这些所学知识的共性，学会举一反三。自考/成考有疑问、不知道如何总结自考/成考考点内容、不清楚自考/成考报名当地政策，点击底部咨询官网，免费领取复习资料：
【专升本快速报名和免费咨询： 】第一，保持对基础概念、理论的重视专升本数学试题和前几年一样，以考查基础题目和中等题为主，因此对于高数，在平时的复习中，仍然要保持对基础概念、理论的重视，不要一味只做题，要及时从错题中找出自己基础中的薄弱环节，对照教材和复习全书查漏补缺。这个内容需要一直做到临考前。第二，把握好重难点专升本数学高数中的重、难点主要有：第一章函数、极限、连续：1、求极限;2、无穷小阶的比较问题;3、间断点类型的判断;4、渐近线。第二章一元函数微分学：1、导数的定义;2、复合函数、隐函数和参数方程的求导;3、方程的根的相关问题;4、微分中值定理;5、导数在经济中的应用(数三)。第三章一元函数积分学：1、不定积分、定积分和反常积分的基本运算;2、变上限积分的相关问题;3、利用定积分求面积和旋转体的体积。第四章多元函数微分学：1、多元函数的连续性、偏导存在以及可微三者之间的关系;2、复合函数和隐函数求偏导，特别是抽象函数的偏导;3、多元函数的极值和最值问题。第五章多元函数积分学：1、二重积分的计算;2、累次积分的换序与计算3、第二类曲线积分和第二类曲面积分的计算(数一);4、关于三重积分、第一类曲线积分和第一类曲面积分的基本计算(数一)。第六章常微分方程：1、求解微分方程的基本方法(可分离变量的微分方程、齐次微分方程和二阶线性常系数微分方程);2、关于微分方程的综合题(例如：变上限积分与微分方程的结合，二重积分与微分程的结合);3、关于微分方程的应用题(例如：几何应用)。第七章无穷级数(数一和数三)：1、关于常数项级数判敛的选择题;2、幂级数的收敛域、收敛半径和收敛区间;3、幂级数的展开与求和。第三，对后期复习要有整体规划基础阶段全面复习(现在～6月)主要目标是系统复习，夯实基础，把基本概念、基本理论、基本方法的内涵与外延弄清楚，加强对知识点的把握，提高解题速度及正确率，为后期的阶段复习做充足的准备。强化阶段熟悉题型(7月～10月)通过辅导资料，加强解题能力的训练，对基本方法进行归纳总结。这个阶段是考生数学能否考高分的关键，大家要好好利用这段时间，在建立知识框架的基础之上，全面了解各章各节的重点、难点和易考点。冲刺阶段查缺补漏(11月～12月中旬)通过试题的练习，查缺补漏。注重错题的掌握。这段把要时间留给历年试题，必须把历年的试题彻底做几遍，一定要熟练掌握;如果前期的基础复习工作没有做好，也可以适当的处理完。模考阶段保持状态(12月～考试前)这段时间主要有两个任务，一个是做几套全真模拟题，并且要根据数学考试的标准安排一上午的三个小时用一个单独的环境来模拟，通过模拟查漏补缺。另一个重要的任务要复习基础阶段的课本，强化阶段的全书复习和历年的试题，有什么问题再多看几遍，真正的做到温故而知新。第四，要坚持不懈地努力成功不是一朝一夕的事情，要坚持不懈的努力下去。除了有合理的计划、良好的心态外，还有最重要的一点，那就是坚持坚持再坚持。在专升本备考的复习过程中，可能会遇到低潮或者迷惑，但是不要放弃，找到合适的途径度过低潮，坚持向自己的梦想前进。 专升本有疑问、不知道如何总结专升本考点内容、不清楚专升本报名当地政策，点击底部咨询官网，免费领取复习资料：
1肯定是三角函数的转换 在积分中会运用。2求导，也就是高数中的微分3向量4概率在高中学到的，大学是概率论5极限（当然 高中只是学的浅显的内容，大学的高等数学难太多）
大一高数知识点归纳如下：
第一章：
1、极限（夹逼准则）。
2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）。
第二章：
1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续。
2、求导法则（背）。
3、求导公式 也可以是微分公式。
第三章：
1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用第一节）。
2、洛必达法则 。
3、泰勒公式 拉格朗日中值定理。
4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）。
5、曲率公式 曲率半径。
第四章、第五章，积分，不定积分：
1、两类换元法。
2、分部积分法 （注意加C ）。
3、定积分，定义。反常积分。
第六章：
定积分的应用。主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长。
第七章：
1、方向余弦。
2、向量积。
3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程）。
4、空间平面 。
5、空间旋转面（柱面）。
1. 夹逼定理的用法假逼定理是在微积分中最常用到的一种计算方法，它分为函数极限的夹逼定理和数列极限的夹逼定理，如果要正确使用该定理，最重要的是理解夹逼定理是用来计算极限的方法，而不是用来判断是否存在极限的方法。如果再通过使用这一方法，能够计算出函数的极限，那么则意味着该的数列的极限存在，但是不能进行反反推，如果极限已经存在，则一定可以用夹逼定理，这句话就是错误的。2. 单调有界收敛定理单调有界收敛定理也是高等数学中一个主要的，用来计算数列极限问题的方法。一般情况下，该定理的使用范围是固定的，只有在特定的题目中才能够运用单调有界收敛定理。通过这一方法，可以证明两点重要结论，首先证明数列是有界的，第二个是证明数列的单调性。在高等数学学习中，除了以上两个定理之外，还有其他将近20个重要的定理学生，需要明白定理的推理过程，以及使用对象只有对定理进行合理理解，才能够保证高等数学在学习过程中的做题效率。
1．法向量 垂直于平面的一个非零向量n称为这个平面的法向量．与n平行的所有非零向量均可作为此平面的法向量，平面上的所有向量都与该平面的法向量垂直。 2．平面的点法式与向量式方程 设M(x0,y0,z0)为平面上的已知点，n=(A,B,C)为法向量，M(x,y,z)为平面上的任一点，则平面的点法式方程为： 如果取 则得平面的向量式方程： 3．平面的三点式方程设M1 (x1,y1,z1)，M2 (x2,y2,z2)，M3 (x3,y3,z3)是某平面上不共线的三点，则由四点共面，四点构成的三个向量的混合积为零，可得平面的三点式方程： 4．平面的截距式方程如果三点取为坐标轴上的点(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)，其中abc≠0，或者已知平面在三坐标轴上的截距为a,b,c，则平面的截距式方程为 5．平面的一般式方程三元一次方程描述的图形为空间平面，即平面的一般式方程为： 并且平面的法向量为n=(A,B,C)，任何满足方程的x,y,z的值构成在有序对(x,y,z)对应的点都为该方程描述的平面上的点。6．一些特殊平面对应的方程结构 (1) 过原点的平面：Ax+By+Cz=0； (2) 平行于x轴的平面：By+Cz+D=0； 平行于y轴的平面：Ax+Cz+D=0； 平行于z轴的平面：Ax+By+D=0； 【注】：法向量的哪个分量为零，则该平面平行于该分量对应的坐标轴。 (3) 过x轴的平面：By+Cz=0； 过y轴的平面：Ax+Cz=0； 过z轴的平面：Ax+By=0； (4) 行于xOy坐标面的平面：Cz+D=0； 平行于zOx坐标面的平面：By+D=0； 平行于yOz坐标面的平面：Ax+D=0； 【注】：法向量的哪两个分量为零，则该平面平行于这两个分量对应的坐标轴构成的坐标面。1．空间曲线的一般方程 空间曲线总可以看成是某两个曲面的交线．设两曲面的方程为 则两个曲面的交线Γ可以用方程组描述为 该方程组也称为空间曲线Γ的一般方程．【注1】空间曲线的一般方程不唯一。可以用任意两个过空间曲线的曲面的方程构成的方程组来描述；并且空间曲线也位于描述空间曲线的一般方程中两个方程的线性组合构成的方程（其中λ,μ为不全为零的实数）描述的曲面图形上。这样就可以用相对简单的曲面方程来描述曲线。 【注2】空间曲线的一般方程通过方程组变换，或者直接引入相关参数，可以将其转换为参数方程；同样，参数方程也可以通过两两消去参数，获得空间曲线的一般方程描述。 【注3】由于空间曲线的参数方程只包含有一个参数，其描述形式简单，所以解决与空间曲线的相关问题一般都将空间曲线用参数方程来描述。 2．一般方程描述的空间曲线在坐标面上的投影方程，设Γ是一条空间曲线，π是一个平面，曲线上每一点在平面上有一个垂足，曲线上的所有点在平面上的垂足所构成的曲线叫做曲线在平面上的投影曲线，简称投影，平面也称为投影面。 过曲线Γ上的每一点，都有平面π的一条垂线，这些垂线构成一个柱面，并且把这样的柱面称为曲线关于平面的投影柱面。 空间曲线在平面上的投影曲线就是投影柱面与平面的交线。 设空间曲线Γ的一般方程为 则Γ关于xOy、yOz、zOx坐标面的投影柱面方程可以通过方程组分别消去z、x、y变量得到。假设方程组消去变量z、x、y后得到的方程分别描述为 则以上三个方程分别描述了空间曲线关于坐标面xOy、yOz、zOx的投影柱面；并且空间曲线在三个坐标面上的投影曲线分别为3．空间曲线的参数方程一般地，空间运动的质点的轨迹对应一条空间曲线。曲线Γ上动点M的坐标x,y,z可以用一个参数t的函数表示为 【注1】空间曲线参数方程参数的意义可以为运动时间，也可以是转动角度、弧度，或者为坐标变量等。4．一般空间曲线在指定平面上的投影曲线求解思路 设空间曲线Γ的一般方程为 投影面π的方程为则空间曲线Γ在平面π的投影柱面方程可以通过构建一般曲面方程的方式得到，其步骤如下：(1) 在投影柱面上任取一点M(x,y,z)； (2) 由于投影柱面是由垂直于投影面，并经过空间曲线的直线构成，所以我们设经过点M的，方向向量取为平面法向量(A,B,C)的直线方程为 由于该直线必定与曲线Γ相交，所以存在t0，使得满足曲线Γ的方程，即有 (3) 利用上述方程组消去参数t0，并化简，假设得到的方程为R(x,y,z)=0，则该方程就为曲线Γ关于平面π的投影柱面方程；而Γ在平面π上的投影曲线方程则可以用投影柱面方程与投影面方程构成的方程组来描述，即5．参数方程描述的空间曲线在坐标面上的投影方程设空间曲线Γ的参数方程为 则Γ关于xOy、yOz、zOx坐标面的投影柱面方程分别为x,y、y,z、z,x两个变量所对应的参数表达式描述的空间曲面；而投影曲线则只要令曲线Γ的参数方程的z,x,y分量分别为零即可。即空间曲线Γ关于xOy、yOz、zOx坐标面的投影柱面方程与投影曲线方程为【注1】空间曲面或立体图形在坐标面上的投影为空间曲面或围成立体的所有曲面上的点在坐标面上的投影点构成的平面区域，可以用投影区域的边界曲线为准线，垂直于坐标面的直线为母线形成的投影柱面与坐标面方程来描述。【注2】空间直角坐标系中立体图形简图的绘制方法：在掌握基本立体几何形状，比如长方体、球体、柱体、平面、直线绘制的基础上，一般通过绘制一些关键性的曲线，比如围成立体图形的曲面的交线，平行于坐标面的平面截取空间图形所得的交线等，来描述图形的大致轮廓，帮助我们更好地理解和解决问题。
第六章 树 树是n个结点的有限集合，非空时必须满足：只有一个称为根的结点；其余结点形成m个不相交的子集，并称根的子树。 根是开始结点；结点的子树数称度；度为0的结点称叶子（终端结点）；度不为0的结点称分支结点（非终端结点）；除根外的分支结点称内部结点； 有序树是子树有左，右之分的树；无序树是子树没有左，右之分的树；森林是m个互不相交的树的集合； 树的四种不同表示方法：·树形表示法；·嵌套集合表示法；·凹入表示法·广义表表示法。 二叉树的定义：是n≥0个结点的有限集，它是空集（n=0）或由一个根结点及两棵互不相交的分别称作这个根的左子树和右子树的二叉树组成。 二叉树不是树的特殊情形，与度数为2的有序树不同。 二叉树的4个重要性质： ·。二叉树上第i层上的结点数目最多为2^（i-1）（i≥1）。； ·深度为k的二叉树至多有（2^k）-1个结点（k≥1）； ·。在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1； ·。具有n个结点的完全二叉树的深度为int（log2n）+1. 满二叉树是一棵深度为k，结点数为（2^k）-1的二叉树；完全二叉树是满二叉树在最下层自右向左去处部分结点； 二叉树的顺序存储结构就是把二叉树的所有结点按照层次顺序存储到连续的存储单元中。（存储前先将其画成完全二叉树） 树的存储结构多用的是链式存储。BinTNode的结构为lchild|data|rchild，把所有BinTNode类型的结点，加上一个指向根结点的BinTree型头指针就构成了二叉树的链式存储结构，称为二叉链表。它就是由根指针root确定的。共有2n个指针域，n+1个空指针。 根据访问结点的次序不同可得三种遍历：先序遍历（前序遍历或先根遍历），中序遍历（或中根遍历）、后序遍历（或后根遍历）。时间复杂度为O（n）。 利用二叉链表中的n+1个空指针域来存放指向某种遍历次序下的前趋结点和后继结点的指针，这些附加的指针就称为“线索”，加上线索的二叉链表就称为线索链表。线索使得查找中序前趋和中序后继变得简单有效，但对于查找指定结点的前序前趋和后序后继并没有什么作用。 树和森林及二叉树的转换是对应的。 转换方法： ·树变二叉树：兄弟相连，保留长子的连线。 ·二叉树变树：结点的右孩子与其双亲连。 ·森林变二叉树：树变二叉树，各个树的根相连。 树的存储结构：·有双亲链表表示法：结点data | parent，对于求指定结点的双亲或祖先十分方便，但不适于求指定结点的孩子及后代。 ·孩子链表表示法：为树中每个结点data | next设置一个孩子链表firstchild，并将data | firstchild存放在一个向量中。 ·双亲孩子链表表示法：将双亲链表和孩子链表结合。 ·孩子兄弟链表表示法：结点结构leftmostchild |data | rightsibing，附加两个分别指向该结点的最左孩子和右邻兄弟的指针域。 树的前序遍历与相对应的二叉树的前序遍历一致；树的后序遍历与相对应的二叉树的中序遍历一致。 树的带权路径长度是树中所有叶结点的带权路径长度之和。树的带权路径长度最小的二叉树就称为二叉树（即哈夫曼树）。 在叶子的权值相同的二叉树中，完全二叉树的路径长度最短。 哈夫曼树有n个叶结点，共有2n-1个结点，没有度为1的结点，这类树又称为严格二叉树。 变长编码技术可以使频度高的字符编码短，而频度低的字符编码长，但是变长编码可能使解码产生二义性。如00、01、0001这三个码无法在解码时确定是哪一个，所以要求在字符编码时任一字符的编码都不是其他字符编码的前缀，这种码称为前缀码（其实是非前缀码）。 哈夫曼树的应用最广泛地是在编码技术上，它能够容易地求出给定字符集及其概率分布的前缀码。哈夫曼编码的构造很容易，只要画好了哈夫曼树，按分支情况在左路径上写代码0，右路径上写代码1，然后从上到下到叶结点的相应路径上的代码的序列就是该结点的前缀码。 第七章 图 图的逻辑结构特征就是其结点（顶点）的前趋和后继的个数都是没有限制的，即任意两个结点之间之间都可能相关。 图GraphG=（V，E），V是顶点的有穷非空集合，E是顶点偶对的有穷集。 有向图Digraph：每条边有方向；无向图Undigraph：每条边没有方向。 有向完全图：具有n*（n-1）条边的有向图；无向完全图：具有n*（n-1）/2条边的无向图； 有根图：有一个顶点有路径到达其它顶点的有向图；简单路径：是经过顶点不同的路径；简单回路是开始和终端重合的简单路径； 网络：是带权的图。 图的存储结构： ·邻接矩阵表示法：用一个n阶方阵来表示图的结构是的，适合稠密图。 ·无向图：邻接矩阵是对称的。 ·有向图：行是出度，列是入度。 建立邻接矩阵算法的时间是O（n+n^2+e），其时间复杂度为O（n^2） ·邻接表表示法：用顶点表和邻接表构成不是的，适合稀疏图。·顶点表结构 vertex | firstedge，指针域存放邻接表头指针。 ·邻接表：用头指针确定。 ·无向图称边表； ·有向图又分出边表和逆邻接表； ·邻接表结点结构为 adjvex | next， 时间复杂度为O（n+e）。，空间复杂度为O（n+e）。。 图的遍历： ·深度优先遍历：借助于邻接矩阵的列。使用栈保存已访问结点。 ·广度优先遍历：借助于邻接矩阵的行。使用队列保存已访问结点。 生成树的定义：若从图的某个顶点出发，可以系统地访问到图中所有顶点，则遍历时经过的边和图的所有顶点所构成的子图称作该图的生成树。 最小生成树：图的生成树不，从不同的顶点出发可得到不同的生成树，把权值最小的生成树称为最小生成树（MST）。 构造最小生成树的算法： ·Prim算法的时间复杂度为O（n^2）与边数无关适于稠密图。 ·Kruskal算法的时间复杂度为O（lge），主要取决于边数，较适合于稀疏图。 最短路径的算法：·Dijkstra算法，时间复杂度为O（n^2）。·类似于prim算法。 拓扑排序：是将有向无环图G中所有顶点排成一个线性序列，若 ∈E（G），则在线性序列u在v之前，这种线性序列称为拓扑序列。 拓扑排序也有两种方法：·无前趋的顶点优先，每次输出一个无前趋的结点并删去此结点及其出边，最后得到的序列即拓扑序列。 ·无后继的结点优先：每次输出一个无后继的结点并删去此结点及其入边，最后得到的序列是逆拓扑序列。 第八章 排序 记录中可用某一项来标识一个记录，则称为关键字项，该数据项的值称为关键字。 排序是使文件中的记录按关键字递增（或递减）次序排列起来。 ·基本操作：比较关键字大小；改变指向记录的指针或移动记录。 ·存储结构：顺序结构、链表结构、索引结构。 经过排序后这些具有相同关键字的记录之间的相对次序保持不变，则称这种排序方法是稳定的，否则排序算法是不稳定的。 排序过程中不涉及数据的内、外存交换则称之为“内部排序”（内排序），反之，若存在数据的内外存交换，则称之为外排序。 内部排序方法可分五类：插入排序、选择排序、交换排序、归并排序和分配排序。 评价排序算法好坏的标准主要有两条：执行时间和所需的辅助空间，另外算法的复杂程序也是要考虑的一个因素。 插入排序：·直接插入排序： ·逐个向前插入到合适位置。 ·哨兵（监视哨）有两个作用： ·作为临变量存放R[i] ·是在查找循环中用来监视下标变量j是否越界。 ·直接插入排序是就地的稳定排序。时间复杂度为O（n^2），比较次数为（n+2）（n-1）/2；移动次数为（n+4）（n-1）/2； ·希尔排序： ·等间隔的数据比较并按要求顺序排列，最后间隔为1. ·希尔排序是就地的不稳定排序。时间复杂度为O（n^1.25），比较次数为（n^1.25）；移动次数为（1.6n^1.25）； 交换排序：·冒泡排序：·自下向上确定最轻的一个。·自上向下确定最重的一个。·自下向上确定最轻的一个，后自上向下确定最重的一个。 ·冒泡排序是就地的稳定排序。时间复杂度为O（n^2），比较次数为n（n-1）/2；移动次数为3n（n-1）/2； ·快速排序：·以第一个元素为参考基准，设定、动两个指针，发生交换后指针交换位置，直到指针重合。重复直到排序完成。 ·快速排序是非就地的不稳定排序。时间复杂度为O（nlog2n），比较次数为n（n-1）/2； 选择排序：·直接选择排序： ·选择最小的放在比较区前。 ·直接选择排序就地的不稳定排序。时间复杂度为O（n^2）。比较次数为n（n-1）/2； ·堆排序 ·建堆：按层次将数据填入完全二叉树，从int（n/2）处向前逐个调整位置。 ·然后将树根与最后一个叶子交换值并断开与树的连接并重建堆，直到全断开。 ·堆排序是就地不稳定的排序，时间复杂度为O（nlog2n），不适宜于记录数较少的文件。 归并排序： ·先两个一组排序，形成（n+1）/2组，再将两组并一组，直到剩下一组为止。 ·归并排序是非就地稳定排序，时间复杂度是O（nlog2n）， 分配排序：·箱排序： ·按关键字的取值范围确定箱子数，按关键字投入箱子，链接所有非空箱。 ·箱排序的平均时间复杂度是线性的O（n）。 ·基数排序：·从低位到高位依次对关键字进行箱排序。 ·基数排序是非就稳定的排序，时间复杂度是O（d*n+d*rd）。 各种排序方法的比较和选择： ·。待排序的记录数目n；n较大的要用时间复杂度为O（nlog2n）的排序方法； ·记录的大小（规模）；记录大用链表作为存储结构，而快速排序和堆排序在链表上难于实现； ·关键字的结构及其初始状态； ·对稳定性的要求； ·语言工具的条件； ·存储结构； ·时间和辅助空间复杂度。 第九章 查找 查找的同时对表做修改操作（如插入或删除）则相应的表称之为动态查找表，否则称之为静态查找表。 衡量查找算法效率优劣的标准是在查找过程中对关键字需要执行的平均比较次数（即平均查找长度ASL）。 线性表查找的方法： ·顺序查找：逐个查找，ASL=（n+1）/2； ·二分查找：取中点int（n/2）比较，若小就比左区间，大就比右区间。用二叉判定树表示。ASL=（∑（每层结点数*层数））/N. ·分块查找。要求“分块有序”，将表分成若干块内部不一定有序，并抽取各块中的关键字及其位置建立有序索引表。 二叉排序树（BST）定义是：二叉排序树是空树或者满足如下性质的二叉树： ·若它的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值； ·若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值； ·左、右子树本身又是一棵二叉排序树。 二叉排序树的插入、建立、删除的算法平均时间性能是O（nlog2n）。 二叉排序树的删除操作可分三种情况进行处理： ·*P是叶子，则直接删除*P，即将*P的双亲*parent中指向*P的指针域置空即可。 ·*P只有一个孩子*child，此时只需将*child和*p的双亲直接连接就可删去*p. ·*p有两个孩子，则先将*p结点的中序后继结点的数据到*p，删除中序后继结点。 关于B-树（多路平衡查找树）。它适合在磁盘等直接存取设备上组织动态的查找表，是一种外查找算法。建立的方式是从下向上拱起。 散列技术：将结点按其关键字的散列地址存储到散列表的过程称为散列。散列函数的选择有两条标准：简单和均匀。 常见的散列函数构的造方法： ·。平方取中法：hash=int（（x^2）%100） ·。除余法：表长为m，hash=x%m ·。相乘取整法：hash=int（m*（x*A-int（x*A））；A=0.618 ·。随机数法：hash=random（x）。 处理冲突的方法：·开放定址法： ·一般形式为hi=（h（key）+di）%m1≤i≤m-1，开放定址法要求散列表的装填因子α≤1. ·开放定址法类型： ·线性探查法：address=（hash（x）+i）%m； ·二次探查法：address=（hash（x）+i^2）%m； ·双重散列法：address=（hash（x）+i*hash（y））%m； ·拉链法： ·是将所有关键字为同义词的结点链接在同一个单链表中。 ·拉链法的优点： ·拉链法处理冲突简单，且无堆积现象； ·链表上的结点空间是动态申请的适于无法确定表长的情况； ·拉链法中α可以大于1，结点较大时其指针域可忽略，因此节省空间； ·拉链法构造的散列表删除结点易实现。 ·拉链法也有缺点：当结点规模较小时，用拉链法中的指针域也要占用额外空间，还是开放定址法省空间。 第十章 文件 文件是性质相同的记录的集合。记录是文件中存取的基本单位，数据项是文件可使用的最小单位，数据项有时称字段或者属性。 文件·逻辑结构是一种线性结构。 ·操作有：检索和维护。并有实时和批量处理两种处理方式。 文件·存储结构是指文件在外存上的组织方式。 ·基本的组织方式有：顺序组织、索引组织、散列组织和链组织。 ·常用的文件组织方式：顺序文件、索引文件、散列文件和多关键字文件。 评价一个文件组织的效率，是执行文件操作所花费的时间和文件组织所需的存储空间。 检索功能的多寡和速度的快慢，是衡量文件操作质量的重要标志。 顺序文件是指按记录进入文件的先后顺序存放、其逻辑顺序和物理顺序一致的文件。主关键字有序称顺序有序文件，否则称顺序无序文件。 一切存储在顺序存储器（如磁带）上的文件都只能顺序文件，只能按顺序查找法存取。 顺序文件的插入、删除和修改只能通过复制整个文件实现。 索引文件的组织方式：通常是在主文件之外建立一张索引表指明逻辑记录和物理记录之间一一对应的关系，它和主文件一起构成索引文件。 索引非顺序文件中的索引表为稠密索引。索引顺序文件中的索引表为稀疏索引。 若记录很大使得索引表也很大时，可对索引表再建立索引，称为查找表。是一种静态索引。 索引顺序文件常用的有两种： ·ISAM索引顺序存取方法：是专为磁盘存取文件设计的，采用静态索引结构。 ·VSAM虚拟存储存取方法：采用B+树作为动态索引结构，由索引集、顺序集、数据集组成。 散列文件是利用散列存储方式组织的文件，亦称为直接存取文件。 散列文件 ·优点是：文件随机存放，记录不需要排序；插入删除方便；存取速度快；不需要索引区，节省存储空间。 ·缺点是：不能进行顺序存取，只能按关键字随机存取，且询问方式限地简单询问，需要重新组织文件。 多重表文件：对需要查询的次关键字建立相应的索引，对相同次关键字的记录建一个链表并将链表头指针、长度、次关键字作为索引表的索引项。 倒排表：次关键字索引表称倒排表，主文件和倒排表构成倒排文件。
1、继承不同
HashMap继承了AbstractMap，AbstractMap实现了Map接口
HashTable继承了Dictionary类
2、线程安全不同
HashMap不是线程安全的，HashTable是线程安全的
3、允许null值
HashMap允许key和value为空，而HashTable不允许
4、遍历方式实现不同
HashMap的迭代器是fail-fast迭代器，HashTable的enumerator迭代器不是fail-fast的
5、哈希值的使用不同
HashMap重新计算哈希值，HashTable直接使用对象的哈希值
6、初始容量和扩容方式不同
HashMap初始大小为16，扩容大小一定是2的指数
HashTable初始大小为11，扩容大小为old*2+1
7、hashmap新增红黑树结构
当碰撞链表过长时，就把链表转为红黑树
1、直接定址法
取关键字或关键字的某个线性函数值为散列地址
特点：关键字连续时较方便，但关键字不连续时将造成内存单元的大量浪费
2、数字分析法
取关键字中取值比较均匀的若干数位作为哈希值。
特点：适用于关键字全部已知，并要对关键字中每一位进行分析
3、平方取中法
取关键字平方后中间几位作为哈希地址
特点：因为平均值的中间部分跟关键字的每一位都有关，出现随机值的概率较大
4、分段叠加法
按哈希表地址位数将哈希表分为位数相等的几段（最后一段可以较短），然后将这几部分相加，舍弃最高位的进位得到哈希值。
具体分为：移位法与折叠法
移位法：将每部分低位对其相加
折叠法：从一段向另一端沿分割线来回折叠（奇数段为正序，偶数段为倒序）
例如关键字123603247112020,哈希表长度为1000，则应把关键字分成3位一段
移位法得到105，折叠法得到907
5、伪随机数法
采用伪随机函数作为哈希函数
6、除留余数法
用关键字除以某个不大于哈希表长度的数，取余数作为哈希值。
1、开放定址法
当关键字key的哈希值p=H（key）出现冲突时，以p为基础产生新的哈希值p1，如果p1仍冲突，则产生p2，以此类推。
函数形式如下：
Hi = (H(key) + di) % m
根据di的不同分为
（1）线性探测
di = 1， 2， 3， …… ，（m-1）
（2）平方探测
d i =1 2 ，-1 2 ，2 2 ，-2 2 ，…，k 2 ，-k 2 ( k<=m/2 )
（3）伪随机探测
di = 伪随机数序列
2、再哈希法
构造多个不同的哈希函数，当出现冲突时，使用新的哈希函数
3、链地址法
将散列到同一位置的冲突元素存入一个链表中
4、建立一个公共溢出区
将哈希表分为基本表和溢出表
左旋：
右旋
红黑树是一颗特殊的二叉查找树，除了二叉查找树的所有性质
1、若任意节点的左子树不为空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值
2、若任意节点的右子树不为空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值
3、任意节点的左右子树也为二叉查找树
4、没有键值相等的节点
还满足
1、每个节点要么是红的要么是黑的
2、根节点是黑的
3、每个叶节点（null节点）是黑的
4、如果一个节点是红的，那么它的两个儿子都是黑的
5、任意节点到叶节点（null节点）的每条路径都包含相同数目的黑节点
红黑树保证没有一条路径比另一条路径长出两倍，保证了自身是接近平衡的二叉树，能保证在最坏的情况下查找的时间复杂度为O（logN），而二叉查找树最坏为O（N）
红黑树牺牲了严格的高度平衡为代价，只要求部分达到部分平衡条件，降低了对旋转的要求，从而提高了性能。红黑树能够以O（logN）的时间复杂度进行添加，删除，查找。由于它的设计，任何不平衡都可以在三次旋转之内解决。
1、相比BST（二叉搜索树）
红黑树的最长路径不大于最短路径两倍，保证了最差搜索效率为O（logN）,而二叉搜索树最差效率会达到O（N）
2、相比AVL（平衡二叉树）
（1）红黑树的查询性能略逊于平衡二叉树，因为它比平衡二叉树会最多多一层。
（2）红黑树在插入删除上要优于平衡二叉树，红黑树使用非严格的高度平衡换取增删节点时旋转次数的减少，任何不平衡都会在三次旋转之内解决，但是平衡二叉树旋转次数有时会比红黑树要多。所以红黑树的插入删除效率更高。