若有甲乙都参加了自学考试

初中学历,高中的学籍在甲校而在乙校就读参加统考全日制大专算学历断层吗严格的来说就算，因为学历这个东西你必须要毕业之后，你才能说啊，高中毕业然后的话，但是你没有没有拿到毕业的那个学历证，那么你这个就不算是完整度过了，这个高中你只能说代表你在高中读过一段时间，所以严格来算就算学历断层。

这位亲……每个人分别套几次额?还是只算一次的概率?如果是分别一次的,那相同的概率是：P（得分相同）=0.7*0.8+0.3*0.2=0.62.

在日新月异的现代社会中，协议书使用的情况越来越多，签订签订协议书可以使事务的结果更加完美化。一起来参考协议书是怎么写的吧，下面是我为大家整理的考试协议书6篇，仅供参考，欢迎大家阅读。

甲方：________________________________

乙方：_______大学计算机应用技术研究中心

甲方为通过________年____月的全国高等教育自学考试中的____________________课程，自愿接受乙方的辅导。为明确双方的职责和权利，拟订本协议。

第一条 在________年____月____日前，乙方必须按下列计划对甲方进行辅导：

（1）当乙方收到甲方的辅导费时，发放有关资料。根据甲方的详细介绍，制订辅导计划，甲方按照计划进行学习和提问。

（2）一次性或定期给甲方发送学习资料，并通过阅读指南和模拟试题等形式促进甲方对资料的掌握和消化。

（3）甲方随时可通过网上课堂http：// ________/中的“自考辅导答疑”版块中的相应栏目或电子邮件进行提问和咨询有关考试的问题。（乙方响应时间：不超过一个工作日，特殊情况下不超过两个工作日）。如果以上方式发生变更，乙方有义务及时通知甲方。

（4）学习期间，为甲方提供三套模拟试题，甲方完成后提交，由乙方批改并进行试题分析。（响应时间：不超过两个工作日，特殊情况下不超过三个工作日）。

第二条 甲方在________年_____月_____日一次性向乙方交纳辅导费_______元。（专科____门，本科___门），因甲方自身原因，因故不能参加考试或者中途退出学习的，不予退款。

第三条 甲方在报名时向乙方提供本人的考籍号，以及当地准确有效的查分方式，甲方如在____年____月的全国高等教育自学考试中有课程经乙方辅导，完全按照乙方制订的学习计划学习并完成并上交所有模拟试题但未通过者，经乙方核实，可以选择：

（1）乙方向甲方退还____元/科。

（2）甲方可免费重修一次同等级，同科目的课程（论文除外）。

第四条 甲方要妥善保管乙方提供的辅导计划、书籍/教材、光盘、模拟试题及分析与解答、电子资料等，如有遗失或损坏，乙方不再提供。如果甲方需要乙方提供，则需加收成本费和手续费。

第五条 甲方不得在任何场合公开自己在CSAI网站的注册用户名，或公布自己是CSAI的学员。否则，乙方有权取消甲方的学员资格，单方面终止对甲方的继续辅导。

第六条 甲方不得将乙方的辅导资料/教材、乙方批改的作业、甲方在考试辅导答疑区域的帐号和密码等作任何复制和向第三方提供。若甲方违反上述约定，必须赔偿由此给乙方带来的经济损失。且乙方有权单方面终止对甲方的继续辅导。

第七条 因不可抗力或者其他意外事件，使得本协议的履行不可能、不必要或者无意义的，任一方均可以解除本协议。遭受不可抗力、意外事件的一方全部或部分不能履行本协议、解除或迟延履行本协议的，应将事件情况以书面形式通知另一方并向另一方提交相应的证明。订立本协议所依据的客观情况发生重大变化，致使本协议无法履行的，经双方协商同意，可以变更本协议相关内容或者终止协议的履行。

第八条 本协议经双方签字即生效并立即执行，有效期至_________年_____日为止（辅导有效期至_______年____月____日为止）。本协议一式二份，甲乙双方各执一份，具有同等法律效力。

甲方签字：_________________

联系电话：_________________

传真：_____________________

身份证号：_________________

联系地址：_________________

邮政编码：_________________

_______年_______月_______日

乙方代表签字：_____________

联系电话：_________________

传真：_____________________

联系地址：_________________

邮政编码：_________________

_______年_______月_______日

社会化考试委托协议书

甲方（委托方）：

乙方（受委托方）：

甲方拟于 XX年XX月XX日组织开展XX考试，现委托乙方负责此次考试的笔试命题、试卷印刷、评卷等项工作，为保证考试工作的安全、保密、公平、公正，就具体事宜协商规定如下：

一、考试基本情况

1、考试日期、时间、科目：

2、考试性质：

3、考试对象：

4、考生文化程度：

二、命题要求

1、命题科目、套数：

2、考试范围：

3、试题难易度：

4、考试时限：

5、试卷满分：

6、试题题型、题量、分值设置：

7、考试大纲、教材或参考资料：

三、印卷要求

1、考试人数及试卷规格、数量：

2、接送试卷时间及方式：

四、考试费用、支付方式

根据委托内容，本次考试的服务费用为：

支持时间及方式：

五、联系人及联系方式

1、委托方联系人：

2、被委托方联系人：

办公：

传真：

七、其他事项

1、在整个考试代理过程中，双方应严格遵守《中华人民共和国保密法》及相关的法律规定。

2、委托方只享有试卷的使用权，不得以任何形式复印、转载、保留试卷。

3、本协议自签订之日起生效，双方均应认真履行，不得违约。如有未尽事宜，双方在友好、平等的情况下协商解决。

4、本委托书一式二份，委托双方各执一份。

委托单位（盖章）： 被委托单位（盖章）：

委托方代表（签字）： 被委托方代表（签字）：

日期：年 月 日 日期：年 月 日

甲方：_________

地址：_________

邮编：_________电话：_________ 传真：_________

法定代表人：_________ 联系人手机：_________

乙方：_________

地址：_________

邮编：_________电话：_________ 传真：_________

法定代表人：_________ 联系人手机：_________

甲、乙双方本着“_________”的培训宗旨，以合法、公平、诚实信用之法律原则为指导，遵循优势互补，资源互享，互惠互利，共同发展的原则基础上，就xx年年国家司法考试培训项目合作的有关事宜达成以下协议：

一、总则

（一）甲方、乙方是两个各自独立的法人实体，各自自主经营，自负盈亏，独立核算，合作培训，按协议规定共享师资和信息资源。合作期间，甲、乙双方必须保证自身行为的合法性。

（二）甲方授权乙方在_________（地区）使用“_________司法考试”或“__________________司法考试”等名称开展xx年年国家司法考试培训业务，上述选定的每一项目培训业务甲方在该城市只能授权一家，不得再与第二家进行合作，避免内部的竞争。合作期间，乙方以“**_________司法考试”或者“_________**司法考试”的名义对外宣传。

二、权利与义务

（一）甲方的权利和义务

甲方向乙方提供招生宣传、活动策划等方案的支持，在每阶段招生工作开始前以电子版的形式发送给乙方，乙方可以根据当地情况进行适当修改并经甲方同意后自行发放。

甲方应按照培训计划为乙方提供指定的授课老师的授课课件，并在开课前将同步的文字资料提供给乙方。甲乙双方的培训计划和内容相同。

乙方的'招生方式可班 以根据当地特点自行确定，但应事先通知甲方，甲方在收到乙方通知后的两日内做出答复，紧急情况下一日内做出答复。

（二）乙方的权利和义务

1．如果甲方退出，甲方承担乙方学员善后处理的全部费用，如果乙方退出，乙方应承担因此而引起的一切费用和损失。

2．乙方有维护教学正常进行，保证学员正常学习的义务。乙方负有对与甲方的所有资料和资源保密的义务；且不得向任何第三方泄露。

三、培训管理

（一）招生宣传

1．甲方可以为乙方工作人员在_________提供免费的招生宣传和管理培训，乙方人员的差旅费等相关费用应由乙方全部承担。

2．甲方可以为乙方制定详细的教学计划和招生宣传方案，以电子版本的形式提交给乙方。也可以为乙方制作招生简章和相关宣传资料，但费用由乙方承担。

3．报告会支持。例如，甲方从_________请专家来_________开报告会，可以同时在次日安排老师到乙方再做一场。这样既可以为一方进行很好的宣传，又可以大大的降低报告会成本。（估计能节省xx元左右）

4．网站支持。在_________总部的网站和_________分校的网站上都可以对乙方进行宣传。

可以说，乙方不需要请很多专业的工作人员，只需要少量的辅助工作人员即可，在人力成本上也可有效的节省。

（二）教学计划

1．甲乙双方执行统一的培训计划，甲方在年度和阶段的培训计划出台后，应以书面形式或电子信件形式通知乙方。乙方可以结合本地的实际情况，对培训计划进行修改，但应该将教学计划报甲方备案。

2．甲方作为_________在_________（地区）的教育培训基地（_________分校），每年都会在_________开设面授班。这样乙方的学员可以在甲方进行部分面授学习，然后在乙方进行远程学习。既有效的解决部分学员参加面授的愿望，又不会使学员的学费增加太多。甲方可以给很大的折扣。

（三）师资

1．为了更好的招生和宣传，乙方可以考虑开设适当的面授课。比较好的方式是，_________的名师在_________授完课后，可以安排到乙方上适量的课；甲方也可以为乙方安排_________大学和_________政法大学的老师进行适当的面授。

2．甲方也可以为乙方安排_________大学和_________政法大学的优秀博士生担任辅导人员。

（四）乙方的教学场地

乙方应在本协议签订后的5日内将办公场所及电话号码等情况通知甲方，乙方最迟应在开课的5天以前将上课地点通知甲方，否则，因此引起的后果由乙方承担。

（五）培训资料

1．甲乙双方的培训资料保持一致，甲方在确定培训资料后通知乙方。

2．甲、乙双方有责任向对方提供电子文稿，

甲方有权保留此文档备案。

总之，甲方可以为乙方提供全面的，有效的管理咨询服务。

四、费用问题

（一）乙方向甲方交纳课件费的方式：一次性交纳_________元，于签订合同的当日交纳。如需开报告会和聘请面授老师，由乙方另行支付给直接当事人或由甲方代收。

（二）乙方接收到电子版资料后，未经甲方允许不得向任何第三方提供。一经发现和查实，甲方有权采取一切必要措施进行处理的权利，并有权要求乙方对此进行赔偿。

（三）甲乙双方法人（代表人）签字盖章后合同生效。未按协议实施执行，将追究其违约责任，违约金为壹万元，在规定时间内乙方如未按时履行付款协议，甲方有权利终止此协议，并追究其法律责任。

五、违约及争议处理

（一）甲、乙双方在合作期间应共同努力维护“_________司法考试”的整体形象和信誉，任何一方都不得做出损害_________司法考试名誉的行为。如果在合作期间出现乙方将以“_________司法考试”的名义， 招收的学员转卖给其它学校时，甲方有权在主网站上将实情公布，由此造成的全部后果由乙方承担。

（二）“_________”、“_________司法考试”、“_________司法考试培训”、“_________司法考试教育”为甲方所拥有，超过协议规定的合作期限，未经授权，乙方不得继续使用该品牌。协议存续期内，乙方不得对任何第三方擅自转让该协议的合作项目和“_________司法考试”品牌名称的使用权；协议期限届满后，未经甲方同意许可，乙方不得再使用“_________司法考试”的名称办学，并应向工商行政管理部门申请注销。甲乙双方在合作结束时，乙方应在合作结束后的15日内将相应的招牌等广告宣传品全部撤换，如果乙方不能及时全部撤换，甲方有权申请强制执行，所需的全部费用由乙方承担。

（三）甲方向乙方免费提供的资源，乙方不得向学员收取任何费用．免费的讲义、免费提供的教材等，乙方违反此规定的，一经查实，有权要求乙方全额退费。

（四）因不可抗力导致该协议不能正常履行的，经双方协商后该协议终止；但不可抗力事由发生之前的所有合作事项应按该协议正常执行。

（五）本协议中的未尽事宜，双方协商解决，协商一致时签订补充协议，协商不一致时通过法律途径解决，争议处理地点为_________市XX区人民法院。

六、协议执行

（一）本协议有效期：_________年_________月_________日至_________年_________月_________日。本协议自甲、乙双方签字并盖章之日起生效，并对甲乙双方同时发生法律效力。

（二）乙方确因实际困难或其它重大变故而不能继续合作的，应当在开课三十日前书面通知甲方，甲方在接到乙方的正式书面通知后，经双方协商一致后，该协议自行终止。

（三）本协议一式两份，甲乙双方各执一份，具有同等法律效力。

甲方（签章）：_________培训基地 乙方（签章）：_________

法定代表人（签字）：_________ 法定代表人（签字）：_________

_________年___月___日 _________年___月___日

甲方：____________

乙方：____________

根据中华人民共和国《合同法》，经甲乙双方友好协商，就甲方授权乙方在（乙方所在地）举办甲方推出的“全国ic设计师职业认证”培训考试一事达成如下协议，双方本着诚实守信、互惠互利的原则履行本协议。

一、合作项目甲方授权乙方在（乙方所在地）举办甲方推出的“全国ic设计师职业认证”培训考试工作。

二、合作期限自_____年_____月_____日至_____年_____月_____日。

三、双方权利与义务

甲方权利与义务

（1）授权乙方在（乙方所在地）举办“全国ic设计师考试认证培训班”的招生、培训、考试工作；并就该项目体系向乙方做详细说明。

（2）乙方向甲方每年交纳注册费用人民币一万元整。

（3）甲方在收到乙方的学员试卷及学员名录之后，及时组织专家阅卷并为通过考试的学员颁发《ic设计师证书》。

（4）参加乙方培训班并考试合格的学员资料放入中国电子人才网的人才库中。

（5）协助乙方培训ic设计师教师。

（6）甲方有权对乙方的工作进行监督检查，并有权对乙方在项目运作过程中的不当之处采取批评、警告直至终止协议的措施。

（7）甲方有权要求乙方对因其责任而使甲方蒙受的经济、名誉损失进行赔偿。

（8）甲方收取乙方培训费的15%作为管理费。

乙方权利与义务

（1）签署本协议前，乙方应向甲方提交以下资料：乙方的营业执照复印件、乙方的办公地址，联系电话，传真，e-mail、乙方法人代表的身份证复印件、乙方详细的项目运作计划书

（2）招生前，将该期培训班的《办班通知》传真给甲方备案。

（3）培训班结束后3个工作日内将学员名单、试卷快递给甲方。

（4）乙方在申领准考证时将当期培训班的管理费、认证费、考试费电汇至甲方指定账户。

（5）有权在协议规定的区域内按甲方的统一标准招生、培训、考试。

（6）乙方本着实事求是的做法，不得有损于此项目的推进和发展。

四、违约责任协议双方如因一方违约给对方造成经济、名誉损失的应当给与对方赔偿。

五、本协议一式四份，双方各执二份，具有同等法律效力。

六、其他约定尽事宜由双方本着友好合作的精神协商解决，协商未果的，交北京市仲裁委员会仲裁或向北京市人民法院提起诉讼。如在本协议执行过程中因不可抗力致使本协议无法履行，双方均不承担责任。

甲方：____________

签字代表：____________

日期：____年___月___日

乙方：________________

签字代表：____________

日期：____年___月___日

甲方：_________

乙方：_________

甲方为了顺利通过_________年_________月份的国家计算机技术与软件专业技术资格（水平）考试中的_________考试，自愿接受乙方的辅导。为了明确双方的职责和权利，特拟订本协议。

第一条 费用交纳及承诺

甲方在_________年_________月_________日前一次性向乙方交纳辅导费_________元。如果甲方能按时提交作业（模拟试题，考前_________个月发放或根据报名时间做调整，甲方每个月完成_________套），参加_________年_________月的考试没有通过，乙方承诺甲方可以免费接着再学一期。

第二条 辅导方式

（1）当乙方收到甲方的辅导费时，发放有关教材和资料。根据甲方的详细介绍，制订辅导计划，甲方按照计划进行学习并提交学习报告。

（2）一次性或定期给甲方发送学习资料，并通过复习大纲和模拟试题等形式促进甲方对资料的掌握和消化。

（3）甲方随时可通过http：//www。_________论坛中的“_________”版块中的相应栏目或电子邮件进行提问和咨询有关考试的问题。（响应时间：周_________日集中答疑，一般本周解决，疑难问题最迟次周解决）。如果以上方式发生变更，乙方有义务及时通知甲方。

（4）甲方可以通_________的客户端浏览课程相关资料，下载浏览相关资料。

（5）学习期间，为甲方提供_________套模拟试题，甲方完成后，由乙方批改并进行试题分析。（响应时间：不超过_________个工作日，特殊情况下不超过_________个工作日）。如果甲方为系统分析师／信息系统项目管理师学员，学习期间，为甲方提供_________个论文模拟试题。甲方根据自己所从事的领域，选择_________个论题进行写作，所有论文均由乙方批阅、点评，给出指导和修改意见，直到合格为止。（响应时间：不超过_________个工作日，特殊情况下不超过_________个工作日）。

第三条 甲方要妥善保管乙方提供的辅导计划、书籍／教材、光盘、模拟试题及分析与解答、电子资料等，如有遗失或损坏，乙方不再提供。如果甲方需要乙方提供，则需加收成本费和手续费。

甲方不得在任何场合公开自己在_________网站的注册用户名，或公布自己是_________的学员。否则，乙方有权取消甲方的学员资格，单方面终止对甲方的继续辅导。

第四条 知识产权

乙方拥有所有资料的完整的知识产权。甲方不得将乙方的辅导资料/教材、乙方批改的作业等作任何复制和向第三方提供。若甲方违反上述约定，乙方可单方面采取措施并保留诉讼权利。

第五条 因不可抗力或者其他意外事件，使得本协议的履行不可能、不必要或者无意义的，任一方均可以解除本协议。遭受不可抗力、意外事件的一方全部或部分不能履行本协议、解除或迟延履行本协议的，应将事件情况以书面形式通知另一方并向另一方提交相应的证明。订立本协议所依据的客观情况发生重大变化，致使本协议无法履行的，经双方协商同意，可以变更本协议相关内容或者终止协议的履行。

第六条 本协议经双方签字即生效并立即执行。本协议一式二份，甲乙双方各执一份，具有同等法律效力。

甲方（签字）：_________乙方（盖章）：_________

联系电话：_________代表（签字）：_________

电子邮件：_________联系电话：_________

身份证号：_________电子邮件：_________

联系地址：_________身份证号：_________

邮政编码：_________联系地址：_________

邮政编码：_________

_________年____月____日_________年____月____日

签订地点：_________签订地点：_________

为了切实保障赴××参加××××年××月自学考试的全体考生的人身及财产安全，防止意外事故发生，营造一个好的考试环境和氛围，保证考生能以良好的状态去应对考试，特拟定该责任协议书，对外出考试期间的行为进行规范和约束，以保证考试活动的顺利开展。

1、领队教师须认真负责，在外出考试期间对考生进行必要的教育和管理，安排好学生食宿，组织统一行动，做好考试服务工作。

2、考生须听从教师指挥，统一行动，按照老师的安排乘坐往返车辆。如因不听指挥而导致误车，耽误了考试或其他事务，后果自负。考试前后按时在指定地点集合,领取考试证件。

3、不得私自离开住地。外出必须征得带队教师的同意，并三人以上结伴而行，上街行走要严格遵守交通规则，防意外事故发生;不从事危险、违法活动;不进营业性网吧、歌厅等具有安全隐患的场所;不与陌生人交往，提高防范意识;不随便购买路边摊食品，以防食物中毒情况的发生。若因私自外出而遭遇意外或耽误了考试，后果自负。

4、管理好自己的财务，爱护住宿房间物品，损坏赔偿;严格遵守作息时间，预防因休息不好而导致影响考试。

5、加强安全意识，任何外出活动都必须紧跟队伍，严禁东张西望随意走动，万一走失，要想办法马上与老师取得联系。如因违纪造成的安全事故，后果自负。

6、遇到的问题，及时寻求老师或同学的帮助。团结同学，文明出行。

7、严格遵守考试的各项规章制度和纪律，若因违犯有关规定受到处罚，或因不遵守考场规定而受到处罚，后果自负。

8、本协议如有欠妥之处以教育部颁布的《学生伤害事故处理办法》之规定为准。

本协议一式两份，学校和考生各留一份，自签字之日起生效，有效期和学生在外出考试期间相对应。

学校(签字) ：

家长签字：

家长电话：

××××年××月××日

和差倍问题”之解答技巧 2．三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组少2人，求第一小组的人数。 分析：要点：先把一，二小组看成一个整体！把第三小组看成一个整体，我们把这种方法叫“化三为二”即把三个问题转换成二个问题，先求出第一，二小组的人数，再求出第一小组的人数。这也是一个和差问题。 解：（180＋20）÷2＝100（人）——第一，二小组的人数 （100－2）÷2＝49（人）——第一小组的人数 综合：〔（180＋20）÷2－2〕÷2＝49（人）——第一小组的人数 答：第一小组的人数是49人。 4．在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于120，而减数是差的3倍，那么差等于多少？ 分析：这是一个和倍问题。减数是差的3倍，那么被减数就是差的4倍，所以被减数、减数与差的和就是差的8倍，应该等于120，所以差＝120÷8＝15。 解：120÷（1＋3＋1＋2）＝15 答：差等于15。 6．有50名学生参加联欢会，第一个到会的女同学同全部男生握过手，第二个到会的女生只差一个男生没握过手，第三个到会的女生只差2个男生没握过手，以此类推，最后一个到会的女生同7个男生握过手。问这些学生中有多少名男生？ 分析：这是和差问题。我们可以这样想：如果这个班再多6个女生的话，最后一个女生就应该只与1个男生握手，这时，男生和女生一样多了，所以原来男生比女生多（7－1）6个人！男生人数就是： 解：（50＋6）÷2＝28（人）。 答：男生人数是2 8人。 注：还有一种解法，7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（人） 我的分析方法还不能说得很清楚。请大家指正。 8．甲、乙、丙共有100本课外书。甲的本数除以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商都是5，余数也都是1。那么乙有多少本书？ 分析：这是和倍问题。看懂题后可以这样理解，“甲、乙、丙3个数是100，甲是乙的5倍多1，丙是甲的5倍多1，求甲、乙、丙各是几？”。即：乙是1倍；甲是乙的5倍多1；丙是乙的（5×5）倍多（1×5＋1）6。那么100减去（1＋6）的差对应（1＋5＋5×5）倍，这样可求出乙是多少。 解：〔100－1－（1×5＋1）〕÷（1＋1×5＋1×5×5）＝91÷31＝3（本） 答：乙有3本书。 10．有货物108件，分成四堆存放在仓库时，第一堆件数的2倍等于第二堆件数的一半，比第三堆的件数少2，比第四堆的件数多2．问每堆各存放多少件？ 分析：如果我们把第一堆看成1倍，那么可以算出第二堆就是（2×2）4倍，第三堆是2倍多2件，第四堆是2倍少2件，那么一共就刚好是1＋4＋2＋2＝9倍（第三堆和第四堆刚好一个多2件一个少2件正好抵消），那么1倍就是108÷9＝12件，第二堆就是12×4＝48件，第三堆就是12×2＋2＝26件，第四堆就是12×2－2＝22件。 解：（108＋2－2）÷（1＋2×2＋2＋2）＝108÷9＝12（件）——第一堆 12×2×2＝48（件）——第二堆； 12×2＋2＝26（件）——第三堆； 12×2－2＝22（件）——第四堆； 答：每堆各有12件、48件、26件、22件。 12．用中国象棋的车，马，炮分别表示不同的自然数。如果：车÷马＝2，炮÷车＝4，炮－马＝56，那么“车＋马＋炮”等于多少？ 分析：这是一个差倍问题。依题有，马是1倍，车是马的2倍，炮是车的4倍，所以炮与马的倍数差是（2×4－1）7倍，而炮与马的两数差是56，根据差倍问题的公式就可分别求出车、马、炮的值。 解：56÷（8－1）＝8——马； 8×2＝16——车 16×4＝64——炮 8＋16＋64＝88——车＋马＋炮 答：车、马、炮的和是88 14．甲、乙两位学生原计划每天自学的时间相同，若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时间半小时，则乙自学6天的时间仅相等于甲自学一天的时间。问：甲、乙原计划每天自学多少分钟？ 分析：差倍问题。原来时间相同，现甲多半小时，乙少半小时，现在的两数差是（30＋30）60分钟，现在的差数差是（6－1）5倍，这样可求出现乙每天自学的时间，加上30分钟，可得原计划每天自学时间。 解：（30＋30）÷（6－1）＋30＝12＋30＝42（分钟） 答：原计划每天自学42分钟。涉及4个或4个以上的对象，已知数量关系，不便直接运用，与其它知识相关联的复杂和差倍问题。 【典型问题】 1. 四年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共有多少人？ 解答：用131+134=265，这是1个甲、丁和2个乙、丙的总和，因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，所以用265-1=264就刚好是3个乙、丙的和，264÷3=88，就是说乙丙的和是88，那么甲丁和是88+1=89，所以四个班的和是88+89=177人.2. 有四个数，其中每三个数的和分别是45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是多少？ 解答：大家想想，我如果把4个数全加起来是什么？实际上是每个数都加了3遍！大家一定要记住这种思想！（45+46+49+52）÷3=64就是这四个数的和，题目要求最小的数，我就用64减去52（某三个数和最大的）就是最小的数，等于12.3. 在一个两位数之间插入一个数字，就变成一个三位数。例如：在72中间插入数字6，就变成了762。有些两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍，求出所有这样的两位数。 解答：对于这个题来说，首先要判断个位是多少，这个数的个位乘以9以后的个位还等于原来的个位，说明个位只能是0或5！先看0，很快发现不行，因为20×9=180，30×9=270，40×9=360等等，不管是几十乘以9，结果百位总比十位小，所以各位只能是5。略作计算，不难发现：15，25，35，45是满足要求的数4. 某班买来单价为0.5元的练习本若干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得15本；如果将这些练习本只给男生，平均每人可得10本。那么，将这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱? 解答：对于这种问题，如果给一个学过工程问题的学生来做的话，简直太简单了，但工程问题是六年级的内容，四年级的学生怎么办呢？我们可以这样考虑：我就假设班上有2个女生（动动脑筋，为什么不假设成有1个女生？），那么就一共有30个练习本，进而推出有3个男生，用30÷（2+3）=6，说明每人应该有6个练习本，所以每人要付3元钱.5. 动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒，那么平均分给三群猴子，每只可得多少粒？ 解答：和上个题目一样我想找到1个数，它既是12的倍数，又是15的倍数，还要是20的倍数。你能找到吗？可以找到最小的是60，那么我就假设共有60粒花生，那么可以算出来第一群猴子有5个，第二群猴子有4个，第三群猴子有3个，那就一共有5+4+3=12只猴子，60÷12=5，所以每个猴子是5粒.6. 一个整数，减去它被5除后余数的4倍是154，那么原来整数是多少？ 解答：首先，被除数除以除数，余数肯定小于除数。所以在这个题里，余数肯定不大于4，这就确定了原来整数只能是：154+4×0，154+4×1，154+4×2，154+4×3，154+4×4中的一个，检验一下，很快得到结果是154+4×2=162.7. 若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老师，那么在这22人中，爸爸有多少人？ 解答：家长比老师多，所以老师少于22÷2=11人，也就是不超过10人，家长就不少于12人。在至少12个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于12÷2=6人，也就是不少于7人。因为女老师比妈妈多2人，所以女老师不少于9人，但老师最多就10个，并且还至少有1个男老师，所以老师必须是10个（9个女老师，1个男老师），家长12个人中，有7个妈妈，那么爸爸就有12-7=5人.8. 一次数学考试共有20道题，规定：答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不计分。考试结束后，小明共得23分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数。请你帮助小明计算一下，他答错了多少道题？ 解答：20个题，如果全部做对的话，可以得20×2=40分。如果不答1道题的话就要少2分，如果做错一道的话就要少3分。小明得了23分，比总分少40-23=17分。因为没有做的题是偶数，所以我们可以先想想如果有0道题没答的话，17分都是做错了少的，可是17÷3=5…2，不可能！再考虑如果有2道题没做的情况，2道题没做就少4分，还有17-4=13分是因为做错了少的，13÷3=4…1，也不可能！考虑4道题没做的话，就少了8分，还有17-8=9分是因为做错了少的，9÷3=3，所以有3道题是做错的.9. 某种商品的价格是：每一个1分钱，每五个4分钱，每九个7分钱，小赵的钱至多能买50个，小李的钱至多能买500个。小李的钱比小赵的钱多多少分钱？ 解答：先在脑袋里算一下，是不是九个7分钱最合算啊？先看小赵：50÷9=5…5，所以他有5×7+4=39分钱；再看小李：500÷9=55…5，所以他有55×7+4=389分钱，那么小李就比小赵多389-39=350分钱。千万不要认为用（500-50）÷9×7=350就可以了，比如我把500换成400，方法就不对了！10. 某幼儿园的小班人数最少，中班有27人，大班比小班多6人。春节分桔子25箱，每箱不超过60个，不少于50个，桔子总数的个位数字是7。若每人分19个，则桔子数不够，现在大班每人比中班每人多分一个，中班每人比小班每人多分一个，刚好分完。问这时大班每人分多少桔子？小班有多少人？（本题是本讲中最难的问题！！！） 解答：首先桔子的个数在1250（=25×50）和1500（=25×60）之间。下面大家帮我看以下两种分桔子的办法的区别是多少？（1）大班每人a+1个，中班每人a个，小班每人a-1个；（2）无论大中小班，每人a个。在第一种分法中，我让大班的孩子每人都拿出来1个去补给小班的孩子，每人补1个，因为大班人比小班多6人，所以最后就还多6个桔子。如果我从所有桔子中拿出6个来，就可以使得原题中的第一种分法变为我的第二种分法。因为桔子的总数个位是7，减去6后的个位是1，这么多桔子可以分给所有的孩子，并且让每人一样多，所以总的人数和每人所分到的桔子数都是奇数！！但很明显每人19个是不够的，所以只能是每人17个，15个，13个等等，15个当然不可能了（因为任何数乘以15后，各位不是5就是0），下面我们来看看可不可能是13个或更少：至少有1250个桔子，1250÷13=96…2，那么至少有96人，那么大班与小班和起来就至少96-27=69人。可是小班人最少不会超过中班的27人，所以大班小班和起来不应该超过27+（27+6）=60人，这与我刚才的结果是矛盾的！所以每人不可能是13个或者更少，这就说明了每人应该是17个苹果。现在总的苹果数个位是7-6=1，每人17个苹果，所以总的人数个位应该是3！！再看：1250÷17=73…9，1500÷17=88…4，这时就可以找到总人数一定是83。因为如果是73的话，桔子还没有分完。所以大班小班共有83-27=56人，用和差问题的公式可以很快得到小班人数是：（56-6）÷2=25人.11. 一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数，位于对面两个数的和都等于13，小张能看到顶面和两个侧面，看到的三个数和为18；小李能看到顶面和另外两个侧面，看到的三个数的和为24，那么贴着桌子的这一面的数是多少？ 解答：大家先想想，我如果用18加上24的话，得到是哪几个面的和？是4个侧面和2个顶面的和！四个侧面的和应该是：13+13=26，这时就可以计算出顶面的数是：（18+24-26）÷2=8，于是底面的数是：13-8=5.12. 左图是一个道路图。A处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从A开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走，如果先后有60个孩子到过路口B，问：先后共有多少个孩子到过路口C？解答：自己先尝试一下假设A处有1个孩子，2个孩子时有什么问题，发现后来就会出现半个孩子的情况，这是不行的，所以再假设有4个，8个，16个孩子，发现后来还是会出现半个孩子，于是我们就假设A处有32个孩子吧！（自己动动脑筋：为什么是1，2，4，8，16，32这些数？这些数有什么规律吗？）最后经过计算能发现C处有8个孩子经过，B处有10个孩子经过。但事实上B处有60个孩子经过，所以原来A处就应该是6个32个孩子！所以就有8×6=48个孩子经过C点.13. 比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为正六边形，并且黑色正五边形与白色正六边形的边长相等。缝制的方法是：每块黑色皮子的5条边分别与5块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起。如果一个足球表面上共有12块黑色正五边形皮子，那么，这个足球应有白色正六边形皮子多少块？ 解答：先算黑皮子共有多少条边：12×5=60条。这60条边都是与白皮子缝合在一起的，对于白皮子来说：每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起，所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的，那么白皮子就应该一共有60×2=120条边，120÷6=20，所以共有20块白皮子.14. 5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？ 解答：大致上可以这样想：先买161瓶汽水，喝完以后用这161个空瓶还可以换回32瓶（161÷5=32…1）汽水，然后再把这32瓶汽水退掉，这样一算，就发现实际上只需要买161-32=129瓶汽水。可以检验一下：先买129瓶，喝完后用其中125个空瓶（还剩4个空瓶）去换25瓶汽水，喝完后用25个空瓶可以换5瓶汽水，再喝完后用5个空瓶去换1瓶汽水，最后用这个空瓶和最开始剩下的4个空瓶去再换一瓶汽水，这样总共喝了：129+25+5+1+1=161瓶汽水.15. 现有三堆苹果，其中第一堆苹果个数比第二堆多，第二堆苹果个数比第三堆多。如果从每堆苹果中各取出一个，那么在剩下的苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍。如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34个，则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍。问原来三堆苹果数之和的最大值是多少？ 解答：这种题和第十题一样，好做但是不好讲，关键在于如何能让四年级的学生听明白！从第一个条件开始：从每堆苹果中各取出一个，在剩下的苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍，这时假设第二堆是1份苹果，那么第一堆就是3份苹果，差2份苹果。再看第二个条件：从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34个，第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍，因为是从每堆苹果中各取出同样多个，所以第二堆还是比第一堆少2份苹果，所以这个2份应该比34个要少（大家自己考虑一下为什么不能相等？）所以一份最多就16个，于是在第二个条件时，第二堆还有34-16×2=2个，第三堆还有2÷2=1个，所以回到第一个条件时，第二堆应该是1份16个苹果，第三堆少一个是15个，第一堆是3份共16×3=48个苹果，所以在最开始分别有49，17，16个，总共有49+17+16=82个.例1: 秋收之后，红星农场把56000千克粮食分别存入两个仓库，已知往第一个仓库里存放的粮食是第二仓库的3倍，求两个仓库各存粮食多少千克？ 分析与求解：我们可以把容量较小的第二仓库存放的粮食数看作是1份，那么第一仓库的存粮数就是3份，两个仓库粮总数是56000千克，就相当于第二仓库存粮数的4份，于是第二仓库存粮数即可求得。 （1）第二仓库存粮数：56000÷（3+1）=14000（千克） （2）第一仓库存粮数：4000×3=42000（千克） 答：第一仓库存粮42000千克，第二仓库存粮14000千克。 例2：果园里有梨树、桃树、核桃树共526棵，梨树比桃树的2倍多24棵，核桃树比桃树少18根。求梨树、桃树及核桃树各有多少棵？ 分析与分解： 已知条件中可以看出，梨树比桃树2倍多24棵，核桃树比桃树少18棵，都是同梨树相比较，可见以桃树的棵数为标准，也就是把桃树的棵数看作1份的话，便可知其他树所占份数。给核桃树增加18棵，那么就和桃树相等了，也就是核桃树也占1份了，再从梨树里减少24棵，那么就相当于桃树的2倍了，也是占有2份。如果这样做的话，总棵数就变成（526+18-24）=520棵了，恰好是4份，也就是相当于桃树颗数的4份。 （526+18-24）÷（2+1+1） =520÷4 =130（棵） 桃树正好占一份，因此桃树有130棵 梨树有：130×2+24=284（棵） 核桃树有：130-18=112（棵） 答：梨树、桃树及核桃树分别为284棵、130棵及112棵。 例3：被除数除以除数商是4，余数是3。而被除数、除数、商及余数的和是155。求被除数、除数各是多少？ 分析：先从155里减去商及余数，剩下的数就是被除数及除数的和：155-4-3=148 被除数是除数的4倍，还多3，因此差将除数看作一份的话，那么被除数是4份多3，见下图。 除数占1份，因此除数为（148-3）÷（4+1）=29 被除数占4份多3，因此被除数为29×4+3=119 答：被除数是119，除数是29。 例4：四（1）班与四（2）班原有图书的本数一样多，后来四（1）班又买来新书118本，四（2）班从本班原有书中取出70本送给一年级同学，这时，四（1）班的图书是四（2）班的3倍，求两班原有图书各多少本？ （1）后来，四（1）班比四（2）班多的书：118+70=188本 （2）多出的188本仅占2份，因此每份书为：188÷（3-1）=94本 ∴原来有图书本数为：94+70=164本（两班原有书一样多） 答：两班原有图书均为164本。 例5：父亲年龄现年39岁。问几年前，父亲年龄是儿子的4倍？ 分析：父亲与儿子的年龄差为39-12=27。由于年龄总是不变的，因此当父亲年龄是儿 子年龄的4倍时，儿子的年龄是： 27÷（4-1）=9（岁） 12-9=3（年） 答：3年前，父亲年龄是儿子的4倍。 例6：甲、乙两个冷藏库共存鸡蛋6250箱，先从甲库运走1100箱后，这时乙库存的鸡蛋比甲库剩下的2倍还多350箱，求甲、乙两库原来各存鸡蛋多少箱？ （i） 先求出每份有多少箱？ （6250-1100-350）÷（1+2）=1600（箱） （ii） 甲库原存鸡蛋： 1600+1100=2700（箱） （iii） 乙库原来存鸡蛋： 1600×2+350=3550（箱） 答：甲库原存鸡蛋2700箱，乙库原存鸡蛋3550箱。 例7 一个小学生在期末考试时，语文、数学两门功课的成绩平均是91.5分，又知数 学成绩比语文成绩多5分，求这两门功课各多少分？ 解一：语文、数学一共有91.5×2=183(分) 语文成绩：（183-5）÷2=89分 数学成绩：（183+5）÷2=94分 解二：数学比语文多5分，因此数学分比平均分高2.5分，语文分比平均分低2.5分。 因此：语文分：91.5-2.5=89(分) 数学分: 91.5+2.5=94分 答: 语文分是89分，数学分是94分。 四、习题部分 1、甲水池有水5200立方米，乙水池有水2400立方米，如果甲水池里的水以每分钟44立方米的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的3倍。 2、把1296分为甲、乙、丙、丁四个数，如果甲数加上2，乙数减去2，丙数乘以2，丁数除以2，则四个数相等。求这四个数各是多少？ 3、柳树沫村原有水田510亩，旱田230亩，今冬明春计划把一部分旱田改为水田，使全村水田的亩数是相当于旱田的3倍，求要把多少亩旱田改为水田。 4、甲、乙两城相距135千米，小张于上午7点骑自行车从甲城出发去乙城，小李于上午8时骑摩托车从乙城出发去甲城。张、李二人于上午10点在途中相遇，如果摩托车的速度是自行车速度的3倍，那么摩托车和自行车的速度各是每小时多少千米？ 5、甲、乙两数的和是80，甲数的5倍与乙数的3倍的和是314，求甲、乙二数各是多少？ 6、甲、乙两仓库共存黄豆84500千克，从甲仓取出6500千克，从乙仓取出4000千克后，两仓余下的黄豆恰好相等，求甲、乙两仓原来各存黄豆多少千克？ 7、一批石油，如果用甲种油罐车装运，需要20辆，如果用乙种油罐车装运，需要25辆。已知甲种油罐车比乙种油罐车每辆多装2吨。求这批石油共多少吨？ 8、把161分成两个数，使两个数的和是两数之差的7倍，求这两个数各是多少？ 9、兄弟俩都有点傻，以为只有自己过一年长一岁，而别人不会长大。有一天，哥哥对弟弟说：“再过3年我的年龄就是你的2倍。”弟弟说：“不对，再过3年我和你一样大。”这时他们俩各几岁？ 10、水果店运来的西瓜个数是哈蜜瓜个数的4倍，如果每天卖130个西瓜和36个哈蜜瓜，那么哈蜜瓜卖完后还剩下70个西瓜。问：水果店运来的西瓜和哈蜜瓜共有多少个？ 五、答案及思路分析 1、解：当乙水池中水是甲水池中水的3倍时，两个水池水的总量仍是5200+2400=7600立方米，如果把甲池的看作1份的话，那么此时乙水池的水应有3份，每1份水的体积应是： 7600÷（1+3）=1900（立方米） 因此甲池现有水1900立方米。 从甲池流走的水有：5200-1900=3300（立方米） 因此时间是：3300÷44=75（分钟） 答：75分钟后，乙水池中的水是甲水池的3倍。 2、解：四个数相等时，每个数均可看成是“1”份，那么 由图可知：甲数原来是1份少2； 乙数原来是1份多2； 丙数原来是0.5份； 丁数原来是2份。 从而可得出每份： （1296+2-2）÷（1+1+0.5+2） =1296÷4.5 =288 由此可知：甲数是286，乙数是290，丙数是144，丁数是576。 3、田的总数是：510+230=740，改造后旱田看作”1”份，那么水田占3份，因此每份应是 740÷（3+1）=185（亩） 因此被改造的旱田有：230-185=45（亩） 4、将小张骑自行车每小时走的路程看作“1”份，则小李骑摩托车每小时走3份路程 共计9份，因此每份路程是：135÷9=15（千米） 因此自行车速度是每小时15千米；15×3=45千米，摩托车车速是每小时45千米。 5、解：甲、乙两数和是80，两个数的3倍的和是：80×3=240 而甲数的5倍与乙数的3倍的和是314， 因此甲数的2倍是：314-240=74 ∴ 甲数是：74÷2=37 乙数是：90-37=43 6、略解：84500-6500-4000=74000（千克） 74000÷2=37000（千克） 37000+65000=43500（千克） 37000+4000=41000（千克） 答：甲、乙两仓原来各存黄豆分别是43500千克和41000千克。 7、略解：20×4=40（吨） 25-20=5（辆） 40÷5=8（吨） 8×25=100（吨） 答：这批石油共有100吨。 9、略解：从弟弟话中可以得知：弟弟比哥哥小3岁。 再从哥哥的话中可以得，当哥哥年龄加3以后，是弟弟现在龄的2倍。 也就是当哥哥比弟弟大6岁时，哥哥的年龄是弟弟的两倍，所以弟弟今年6岁，哥哥今年6+3=9岁。 10、假定每天卖36个哈蜜瓜时，卖出的西瓜是36×4=144个。则哈蜜瓜和西瓜一定同时卖完。 事实上每天少卖144-130=14个。 当哈蜜瓜卖完时，哈蜜瓜多了70个，因此： 70÷14=5（天） 一共卖了5天瓜。 36×5=180个 180×4=720（个） 所以，水果店运来的西瓜是720个，哈蜜瓜是180个。 720+180=900（个） 答：水果店共运来的西瓜和哈蜜瓜是900个。