自学考试专升本线性代数试题

全国2007年1月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，R（A）表示矩阵A的秩。一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．二阶行列式 ≠0的充分必要条件是（ ）A．k≠-1 B．k≠3C．k≠-1且k≠3 D．k≠-1或≠32．设A为三阶矩阵，|A|=a≠0，则其伴随矩阵A*的行列式|A*|=（ ）A．a B．a2C．a3 D．a43．设A、B为同阶可逆矩阵，则以下结论正确的是（ ）A．|AB|=|BA| B．|A+B|=|A|+|B|C．（AB）-1=A-1B-1 D．（A+B）2=A2+2AB+B24．设A可逆，则下列说法错误的是（ ）A．存在B使AB=E B．|A|≠0C．A相似于对角阵 D．A的n个列向量线性无关5．矩阵A= 的逆矩阵的（ ）A． B． C． D． 6．设α1=[1，2，1]，α2=[0，5，3]，α3=[2，4，2]，则向量组α1，α2，α3的秩是（ ）A．0 B．1C．2 D．37．设α1，α2是非齐次方程组Ax=b的解，β是对应的齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b必有一个解是（ ）A．α1+α2 B．α1-α2C．β+α1+α2 D．β+ 8．若A= 相似，则x=（ ）A．-1 B．0C．1 D．29．若A相似于 ，则|A-E|=（ ）A．-1 B．0C．1 D．210．设有实二次型f(x1,x2,x3)= ，则f（ ）A．正定 B．负定C．不定 D．半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11．设A，B均为三阶可逆阵，|A|=2，则|2B-1A2B|=_________.12．在五阶行列式中，项a21 a32 a45 a14 a53的符号为_________.13．设A= ，则A*=_________.14．设三阶方阵A等价于 ，则R（A）=_________.15．设α1=[1，2，x],α2=[-2，-4，1]线性相关，则x=_________.16．矩阵 [1 -1 1]的秩为_________.17．设λ0是可逆阵A的一个特征值，则A-2必有一个特征值是_________.18.已知齐次方程组A4×5χ=0的基础解系含有3个向量，则R（A）=_________.19．已知三阶矩阵A的三个特征值是-1，1，2，则|A|=_________.20．二次型f(x1,x2,x3)= -2 x1x2+x2x3的矩阵是_________.三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）21．求行列式 22．设A= 求（1）（A+2E）-1（A2-4E）（2）（A+2E）-1（A-2E）23．求向量组α1=[1，-1，2，4]，α2=[0，3，1，2]，α3=[3，0，7，14],α4=[1，-1，2，0]的秩，并求出向量组的一个最大线性无关组。24．设有非齐次线性方程组 问a为何值时方程组无解？有无穷解？并在有解时求其通解.25．设A= 的特征值是λ1=λ2=2，λ3=4.（1）求x;（2）A是否相似于对角阵，为什么？26．设二次型f(x1,x2,x3)=2 （其中a>0）可通过正交变换化为标准型 ，求参数a及所用的正交变换.四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）27．设向量组α1，α2，α3线性无关，证明α1+α2，α1-α2，α3也无关.28．设A为n阶正定矩阵，B为n阶半正定矩阵，证明A+B为正定矩阵.

专升本数学考试范围是：函数、极限与连续；导数与微分；中值定理与导数应用；原函数与不定积分概念、不定积分换元法、不定积分分部积分法；定积分及其应用；微分方程；空间解析几何向量代数；多元函数微分学；多元函数积分学；无穷级数。

高数一包括：高等数学、线性代数和概率统计；高等数学占60％，线性代数20％，概率论20％。

高数二包括：高等数学和线性代数；不考无穷级数、线面积分、概率统计。

专升本高数在出题上区别于普通高校的期末考试题及其他测试，也就是说每道题都只考单独的一个知识点，不具有综合性，题量大，但题目简单，只要你学会了一个知识点，就能保证会做一道题。

专升本数学所有考点分为8大模块：

第一模块：函数、极限和连续。包括四个内容:(1)高数主要研究对象--函数 (2)研究工具--极限 (3)无穷小量、无穷大量 （4）函数的连续性。

第二模块：一元函数的微分学。重要内容：(1)导数与微分 (2)微分中值定理与洛必达法则 (3)一元函数求导 （4）函数的单调性与极值。

第三模块：积分分为：定积分与不定积分。解不定积分或者定积分的方法：(1)直接法 (2)分布积分法 (3)换元法。

第四模块：常微分方程 分为：一阶微分方程、高阶微分方程和二阶线性微分方程;一阶微分方程考的比较多。

第五模块：向量代数、空间解析几何。过渡章节，为后面学习二元函数的微积分打基础。

第六模块：多元函数的微分学。多元微分(多元函数求偏导)和(复合函数和隐函数的微分法)、（多元函数的极值应用）。

第七模块：多元函数积分学重点掌握二重积分和曲线积分。

第八模块：无穷极数 工程中的近似计算会用到。包括：竖向极数和幂级数。