许昌自考专升本高等数学真题答案

一. 选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 *1. 设函数 ， 是 的反函数，则（ ） A. B. C. D. 令 ，反函数为 ，选B *2. 若 是 的极值点，则（ ） A. 必定存在，且 B. 必定存在，但 不一定等于零 C. 可能不存在 D. 必定不存在 应选C。例： 在 处取得极小值，但该函数在 处不可导，而 不存在 *3. 设有直线 ，则该直线必定（ ） A. 过原点且垂直于x轴 B. 过原点且平行于x轴 C. 不过原点，但垂直于x轴 D. 不过原点，且不平行于x轴 直线显然过（0，0，0）点，方向向量为 ， 轴的正向方向向量为 ， ，故直线与x轴垂直，故应选A。 *4. 幂级数 在点 处收敛，则级数 （ ） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 收敛性与 有关 在点 处收敛，推得对 ， 绝对收敛，特别对 有 绝对收敛，故应选A。 5. 对微分方程 ，利用待定系数法求其特解 时，下面特解设法正确的是（ ） A. B. C. D. 二. 填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在题中横线上。 *6. _________________. 7. 设 ，则 _________________. *8. 设 ，则 _________________. 解： *9. _________________. 解 10. 设 ，则 _________________. *11. 已知 ，则过点 且同时平行于向量 和 的平面的方程为_________________. 面的法向量为 平面的方程为 即 12. 微分方程 的通解是_________________. *13. 幂级数 的收敛区间是_________________. 解：令 ， 由 解得， ，于是收敛区间是 14. 设 ，则与 同方向的单位向量 _________________. *15. 交换二次积分 的次序得 _________________. 解：积分区域如图所示：D： ，于是三. 解答题：本大题共13个小题，共90分，第16题～第25题每小题6分，第26题～第28题每小题10分，解答时应写出推理，演算步骤。 *16. 计算 解： *17. 设 ，求 解： 18. 判定函数 的单调区间 19. 求由方程 所确定的隐函数 的微分 *20. 设函数 ，求 解：设 ，则 ，两边求定积分得解得： ，于是 21. 判定级数 的收敛性，若其收敛，指出是绝对收敛，还是条件收敛？ 22. 设 ，求 23. 求微分方程 的通解 *24. 将函数 展开为麦克劳林级数 解： （ ）即 25. 设 ，求 26. 求函数 在条件 之下的最值。 *27. 求曲线 的渐近线 解：（1） 曲线没有水平渐近线 （2） ，曲线有铅直渐近线 （3） 所以曲线有斜渐近线 *28. 设区域为D： ，计算 解：积分区域如图所示（阴影部分）【试题答案】 一. 1. 令 ，反函数为 ，选B 2. 应选C。例： 在 处取得极小值，但该函数在 处不可导，而 不存在 3. 直线显然过（0，0，0）点，方向向量为 ， 轴的正向方向向量为 ， ，故直线与x轴垂直，故应选A。 4. 在点 处收敛，推得对 ， 绝对收敛，特别对 有 绝对收敛，故应选A。 5. 特征根为 ，由此可见 （ ）是特征根，于是可设 ，应选C。 二. 6. 7. 8. 解： 9. 解 10. （ ） 11. 平面的法向量为 平面的方程为 即 12. 解： 通解为 13. 解：令 ， 由 解得， ，于是收敛区间是 14. ， 15. 解：积分区域如图所示：D： ，于是三. 16. 解： 17. 解： 18. 解： 当 时， ，函数单调增加；当 或 时， ，函数单调减少，故函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为 19. 解：方程两边对 求导（注意 是 的函数）： 解得 20. 解：设 ，则 ，两边求定积分得解得： ，于是 21. 解：（1）先判别级数 的收敛性 令 发散 发散 （2）由于所给级数是交错级数且由莱布尼兹判别法知，原级数收敛，且是条件收敛。 22. 解： 23. 先求方程 的通解： 特征方程为 ，特征根为 ， ，于是齐次方程通解为 ……（1） 方程中的 ，其中 不是特征根，可令 则 ， 代入原方程并整理得 ， ……（2） 所求通解为 24. 解： （ ）即 25. 解：因 由 得 ，从而 26. 解：把条件极值问题转化为一元函数的最值 当 时，函数取到值 当 时，函数取到最小值0 27. 解：（1） 曲线没有水平渐近线 （2） ，曲线有铅直渐近线 （3） 所以曲线有斜渐近线 28. 解：积分区域如图所示（阴影部分）